تمرين — متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\) و \(M\) نقطة من \([DH]\)

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي — التوازي في الفضاء
نص التمرين:
يمثل الشكل متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) و\(M\) نقطة من \([DH]\).
  1. بيّن أن المستويَين \((AMG)\) و \((BFG)\) متقاطعان.
  2. ليكن \(\Delta = (AMG) \cap (BFG)\). بيّن أن \(\Delta\) و \((AM)\) متوازيان.
  3. أ- عيّن \(K\) نقطة تقاطع المستقيمَين \(\Delta\) و \((BF)\).
    ب- بيّن أن \((ABF) \cap (AMG) = (AK)\).
    ج- بيّن أن \((AK) \parallel (MG)\).
  4. استنتج طبيعة الرباعي \(AMGK\).
  5. بيّن أن الرباعي \(ABGH\) متوازي أضلاع.
  6. تعتبر \(O\) مركز متوازي الأضلاع \(ABGH\). أثبت أن المستقيم \((BH)\) قاطع للمستوى \((AMG)\) في النقطة \(O\).
1) بيّن أن المستويَين \((AMG)\) و \((BFG)\) متقاطعان.
📐 الخاصية: مستويان متقاطعان إذا كانا يشتركان في نقطة واحدة على الأقل وليسا منطبقَين.
1إيجاد نقطة مشتركة: المستوى \((AMG)\) معرَّف بالنقاط \(A, M, G\). المستوى \((BFG)\) معرَّف بالنقاط \(B, F, G\). النقطة \(G\) مشتركة بين المستويَين لأنها تنتمي إلى كلٍّ منهما بحكم التعريف.
2إثبات أنهما غير منطبقَين: النقطة \(A\) تنتمي إلى المستوى \((AMG)\). هل \(A \in (BFG)\)؟ المستوى \((BFG)\) هو مستوى الوجه الجانبي الأمامي الأيمن. \(A\) رأس من الوجه الأمامي الأيسر، إذن \(A \notin (BFG)\). لذلك المستويان غير منطبقَين.
3تطبيق الخاصية: لديهما نقطة مشتركة هي \(G\) + ليسا منطبقَين → هما متقاطعان وفق مستقيم يمر من \(G\).
✓ المستويان \((AMG)\) و \((BFG)\) يشتركان في النقطة \(G\) وغير منطبقَين → متقاطعان.
⚠️ خطأ شائع: الاكتفاء بقول "يشتركان في \(G\)" دون إثبات أنهما غير منطبقَين. الشرطان معا ضروريان للحكم بالتقاطع.
2) ليكن \(\Delta = (AMG) \cap (BFG)\). بيّن أن \(\Delta \parallel (AM)\).
📐 الخاصية: إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين، كانت مستقيما التقاطع متوازيَين.
1تحديد المستويَين المتوازيَين: في متوازي المستطيلات، الوجهان \((AED)\) و \((BFG)\) متوازيان (وجهان متقابلان). نكتب: \((AED) \parallel (BFG)\).
2المستوى القاطع: المستوى \((AMG)\) يقطع المستوى \((AED)\) وفق المستقيم \((AM)\) لأن:
— \(A \in (AMG)\) و \(A \in (AED)\) ✓
— \(M \in (AMG)\) و \(M \in [DH] \subset (AED)\) ✓ (لأن \(D\) و \(H\) كلاهما في \((AED)\))
→ إذن \((AMG) \cap (AED) = (AM)\).
3تقاطع المستوى القاطع مع المستوى الثاني: نفس المستوى \((AMG)\) يقطع \((BFG)\) وفق \(\Delta\) (بحكم السؤال 1). إذن:
— \((AMG)\) يقطع \((AED)\) في \((AM)\)
— \((AMG)\) يقطع \((BFG)\) في \(\Delta\)
وبما أن \((AED) \parallel (BFG)\) → بالخاصية: \(\Delta \parallel (AM)\).
4التحقق الإضافي: \(\Delta\) و \((AM)\) كلاهما محتويان في المستوى \((AMG)\) ولا يتقاطعان (لأن \(\Delta \subset (BFG)\) و \((AM) \subset (AED)\) وهذان المستويان متوازيان لا نقطة مشتركة بينهما) → متوازيان.
✓ \(\Delta \parallel (AM)\) — لأن مستوى \((AMG)\) يقطع المستويَين المتوازيَين \((AED)\) و \((BFG)\).
⚠️ خطأ شائع: إثبات التوازي بالمظهر البصري فقط. يجب استعمال خاصية "مستوى قاطع لمستويَين متوازيَين" مع تسمية المستويَين المتوازيَين بوضوح.
3) أ) عيّن \(K = \Delta \cap (BF)\) — ب) بيّن أن \((ABF) \cap (AMG) = (AK)\) — ج) بيّن أن \((AK) \parallel (MG)\)
📐 الخاصية أ: \(\Delta \subset (BFG)\) و \((BF) \subset (BFG)\) → كلاهما في نفس المستوى → يتقاطعان في نقطة.
أ-1تعيين \(K\): بما أن \(\Delta \parallel (AM)\) (من السؤال 2) وأن \(\Delta\) يمر من \(G\)، يمكن رسم \(\Delta\) في مستوى \((BFG)\). المستقيم \(\Delta\) يقطع الحرف \((BF)\) في نقطة نسميها \(K\). إذن \(K = \Delta \cap (BF)\).
📐 الخاصية ب: إذا اشترك مستويان في نقطتَين مختلفتَين فإن تقاطعهما هو المستقيم المار بهاتَين النقطتَين.
ب-1إيجاد نقطتَين مشتركتَين بين \((ABF)\) و \((AMG)\):
— النقطة \(A\): \(A \in (ABF)\) ✓ و \(A \in (AMG)\) ✓
— النقطة \(K\): \(K \in (BF) \subset (ABF)\) ✓ و \(K \in \Delta \subset (AMG)\) ✓
ب-2الاستنتاج: المستويان \((ABF)\) و \((AMG)\) يشتركان في نقطتَين مختلفتَين \(A\) و \(K\) → تقاطعهما هو المستقيم \((AK)\). إذن \((ABF) \cap (AMG) = (AK)\).
📐 الخاصية ج: نفس الخاصية المستعملة في السؤال 2: مستوى قاطع لمستويَين متوازيَين → خطا التقاطع متوازيان.
ج-1تحديد المستويَين المتوازيَين الجديدَين: في متوازي المستطيلات، الوجهان \((ABE)\) و \((DCG)\) متوازيان (وجهان متقابلان).
ج-2تقاطعات المستوى \((AMG)\) مع المستويَين:
— \((AMG) \cap (ABE)\): النقطتان \(A\) و \(K\) تنتميان إلى \((ABE)\) و \((AMG)\) → التقاطع هو \((AK)\).
— \((AMG) \cap (DCG)\): النقطتان \(M\) و \(G\) تنتميان إلى \((DCG)\) (\(M \in [DH] \subset (DCG)\) و \(G \in (DCG)\)) → التقاطع هو \((MG)\).
ج-3تطبيق الخاصية: \((AMG)\) يقطع \((ABE)\) في \((AK)\) ويقطع \((DCG)\) في \((MG)\). وبما أن \((ABE) \parallel (DCG)\) → \((AK) \parallel (MG)\).
✓ \(K = \Delta \cap (BF)\) — \((ABF) \cap (AMG) = (AK)\) — \((AK) \parallel (MG)\)
⚠️ خطأ شائع في ج: استعمال \((ABF)\) و \((DCG)\) كمستويَين متوازيَين وهذا خطأ. المستويان المتوازيان الصحيحان هما \((ABE)\) و \((DCG)\).
4) استنتج طبيعة الرباعي \(AMGK\).
📐 الخاصية: رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان في كلٍّ من الزوجَين → متوازي أضلاع.
1الضلعان الأول والثاني: من السؤال 2: \(\Delta \parallel (AM)\). ولأن \(K\) و \(G\) نقطتان من \(\Delta\)، فإن \((KG)\) جزء من \(\Delta\). إذن \((KG) \parallel (AM)\).
2الضلعان الثالث والرابع: من السؤال 3-ج: \((AK) \parallel (MG)\).
3الاستنتاج: في الرباعي \(AMGK\):
— \([AM] \parallel [KG]\) (ضلعان متقابلان) ✓
— \([AK] \parallel [MG]\) (ضلعان متقابلان) ✓
→ الرباعي \(AMGK\) متوازي أضلاع.
✓ الرباعي \(AMGK\) متوازي أضلاع.
⚠️ خطأ شائع: القول بأنه مستطيل أو معيّن دون إثبات إضافي. التوازي وحده يُعطي متوازي الأضلاع، وليس أكثر.
5) بيّن أن الرباعي \(ABGH\) متوازي أضلاع.
📐 الخاصية: إذا كان لرباعي ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان → متوازي أضلاع.
1دراسة \([AB]\) و \([HG]\): في متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\)، الحرفان \([AB]\) و \([HG]\) متوازيان (لأنهما حرفا قاعدة مقابلان) ومتساويان بالطول (خاصية المتوازي). نكتب: \(AB \parallel HG\) و \(AB = HG\).
2هل \(A, B, G, H\) رباعي محدَّب؟ \(A\) و \(B\) في القاعدة السفلى، \(G\) و \(H\) في السقف العلوي. الرباعي \(ABGH\) قطري (قطاعي) في متوازي المستطيلات.
3تطبيق المعيار: ضلعان متقابلان \([AB]\) و \([HG]\) متوازيان ومتساويان → الرباعي المحدَّب \(ABGH\) متوازي أضلاع.
✓ \(AB \parallel HG\) و \(AB = HG\) → الرباعي \(ABGH\) متوازي أضلاع.
⚠️ خطأ شائع: إثبات التوازي فقط دون التساوي. المعيار يحتاج الشرطَين معا: توازٍ + تساوٍ في نفس الزوج من الأضلاع المتقابلة.
6) \(O\) مركز متوازي الأضلاع \(ABGH\). أثبت أن \((BH)\) قاطع للمستوى \((AMG)\) في \(O\).
📐 الخاصية: لإثبات أن مستقيما يقطع مستوى في نقطة، نثبت: (1) النقطة تنتمي للمستقيم، (2) النقطة تنتمي للمستوى، (3) المستقيم غير محتوٍ في المستوى.
1\(O\) ينتمي إلى \((BH)\): \(O\) مركز متوازي الأضلاع \(ABGH\)، أي \(O\) هو تقاطع القطرَين \([AG]\) و \([BH]\). بالتعريف، \(O\) منتصف \([BH]\)، إذن \(O \in (BH)\) ✓.
2\(O\) ينتمي إلى المستوى \((AMG)\): بما أن \(O\) منتصف \([AG]\) أيضاً، فإن \(O \in [AG]\). والمستقيم \((AG)\) محتوٍ في المستوى \((AMG)\) (لأن \(A \in (AMG)\) و \(G \in (AMG)\)). إذن \(O \in (AG) \subset (AMG)\) → \(O \in (AMG)\) ✓.
3\((BH)\) غير محتوٍ في \((AMG)\): النقطة \(B \in (BH)\). هل \(B \in (AMG)\)؟ المستوى \((AMG)\) يمر بـ\(A, M, G\). \(B\) رأس من متوازي المستطيلات لا ينتمي لهذا المستوى (يمكن التحقق: \(B \notin (AED)\) والمستوى \((AMG)\) داخلي). إذن \(B \notin (AMG)\) → \((BH)\) غير محتوٍ في \((AMG)\) ✓.
4الاستنتاج: \(O \in (BH)\) + \(O \in (AMG)\) + \((BH)\) غير محتوٍ في \((AMG)\) → المستقيم \((BH)\) يقطع المستوى \((AMG)\) في النقطة الوحيدة \(O\).
✓ المستقيم \((BH)\) قاطع للمستوى \((AMG)\) في النقطة \(O\).
⚠️ خطأ شائع: إثبات أن \(O \in (BH)\) و \(O \in (AMG)\) والتوقف هنا. يجب إضافة أن \((BH)\) غير محتوٍ في المستوى، وإلا يكون محتوى فيه وليس قاطعا له.
انقر على نقطة أو مستوى لمعرفة خصائصه. افتح سؤالاً لإبراز عناصره.

مساعدة — التوازي في الفضاء

1️⃣ مستويان متقاطعان

يشتركان في نقطة + ليسا منطبقَين → تقاطعهما مستقيم.

\((AMG)\) و \((BFG)\) يشتركان في \(G\) وهما غير منطبقَين → متقاطعان.
لا يكفي وجود نقطة مشتركة — يجب إثبات عدم الانطباق.

2️⃣ مستوى قاطع لمستويَين متوازيَين

إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين → خطا التقاطع متوازيان.

\((AMG)\) يقطع \((AED) \parallel (BFG)\) → \(\Delta \parallel (AM)\)
يجب تسمية المستويَين المتوازيَين صراحة وإثبات توازيهما أولاً.

3️⃣ تقاطع مستويَين

إذا اشترك مستويان في نقطتَين مختلفتَين → تقاطعهما هو المستقيم بينهما.

\(A\) و \(K\) مشتركتان بين \((ABF)\) و \((AMG)\) → التقاطع هو \((AK)\).
يجب إثبات أن النقطتَين مختلفتان وتنتميان فعلاً للمستويَين.

4️⃣ متوازي الأضلاع

رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان في كلٍّ من الزوجَين.

\(AM \parallel KG\) و \(AK \parallel MG\) → \(AMGK\) متوازي أضلاع.
التوازي من جهة واحدة فقط لا يكفي.

5️⃣ مستقيم قاطع لمستوى

نقطة مشتركة واحدة + المستقيم غير محتوٍ في المستوى.

\(O \in (BH)\) و \(O \in (AMG)\) و \(B \notin (AMG)\) → \((BH)\) يقطع \((AMG)\) في \(O\).
إذا كان المستقيم محتوًى في المستوى فلا نسميه "قاطعا".

6️⃣ مركز متوازي الأضلاع

مركز متوازي الأضلاع = تقاطع قطرَيه = منتصف كلٍّ منهما.

\(O\) مركز \(ABGH\) → \(O\) منتصف \([AG]\) و \([BH]\) معا.
لا تخلط بين مركز متوازي الأضلاع ومركز الثقل أو المركز المحيطي.