تمرين 5 — مستويان \(P\) و\(P'\) متقاطعان وفق \(D\)

1 \(A \in Q\) و\(A \in P\) → \(A \in Q \cap P\).

2 \(C \in Q\) (لأن \(C \in (ABC)=Q\)) و\(C \in P\) (لأن \(C \in D \subset P\)) → \(C \in Q \cap P\).

3 \(Q \cap P\) هو المستقيم \((AC)\). بنفس الطريقة \(Q \cap P' = (BC)\).

1 \(C \in D\) (معطى). \(C \in (ABC) = Q\) (لأن \(A,B,C\) يحددون \(Q\)).

2 إذن \(C \in Q \cap D\). هل هناك نقاط أخرى؟ \(D\) مستقيم و\(Q\) مستوى → تقاطعهما إما نقطة أو المستقيم كله.

3 هل \(D \subset Q\)؟ \(D\) يمر بـ\(C\) ومستوى \(Q=(ABC)\) يضم \(A,B,C\). إذا كان \(D\) في \(Q\) فيجب أن \(D \subset (ABC)\). هذا غير مضمون → التقاطع نقطة وحيدة.

1 هل \(D\) و\(D'\) يتقاطعان؟ من ب: \(D \cap Q = \{C\}\). و\(D' \subset Q\) (لأن \(A,B \in Q\) و\(D'\) يمر بهما). إذن \(D \cap D' = D \cap Q \cap D' = \{C\}\)؟ لكن \(C \in D'\) فقط إذا \(D'\) يمر بـ\(C\). \(D'\) يقطع \(P\) في \(A\) ويقطع \(P'\) في \(B\) وهو ليس بالضرورة مارًّا بـ\(C\).

2 بما أن \(D\cap D'=\emptyset\) (لا تقاطع) وليسا متوازيَين (اتجاهان مختلفان) → ليسا في نفس المستوى.

3 دليل إضافي: \(D \subset P\) و\(D'\) يخرج من \(P\) (يقطعه في \(A\)) → لا مستوى واحد يضمهما.