تمرين 3 — موشور قائم \(ABCA'B'C'\)

هندسة الفضاء — السنة الثامنة — التوازي في الفضاء
نص التمرين:
انقل الشكل حيث \(ABCA'B'C'\) موشور قائم. \(M\) نقطة من \([B'C']\) و\(N\) نقطة من \([BC]\).
أ) ما وضعية \((AA')\) والمستوى \((BCC'B')\)؟
📐 الخاصية: مستقيم موازٍ لمستوى إذا يوازي مستقيماً محتوًى فيه وغير محتوٍ.
1 \((AA') \parallel (BB')\) (حرفان جانبيان في موشور قائم).
2 \((BB') \subset (BCC'B')\) لأن \(B, B' \in (BCC'B')\).
3 \(A \notin (BCC'B')\) لأن \(A\) رأس القاعدة \(ABC\) وليس على الوجه \((BCC'B')\).
4 \((AA')\) يوازي \((BB') \subset (BCC'B')\) وليس محتوًى فيه → \((AA') \parallel (BCC'B')\).
✓ \((AA') \parallel (BCC'B')\)
⚠️ خطأ شائع: العمودية على القاعدة لا تعني الموازاة للوجه الجانبي — يجب التحقق من الاحتواء.
ب) استنتج أن \((AA')\) و\((MN)\) غير متقاطعَين.
📐 الخاصية: مستقيم موازٍ لمستوى → لا يقطع أي مستقيم محتوٍ في ذلك المستوى.
1 من أ: \((AA') \parallel (BCC'B')\).
2 \(M \in [B'C'] \subset (BCC'B')\) و\(N \in [BC] \subset (BCC'B')\) → \((MN) \subset (BCC'B')\).
3 بما أن \((AA') \parallel (BCC'B')\) فهو لا يقطع \((MN) \subset (BCC'B')\).
✓ \((AA')\) و\((MN)\) غير متقاطعَين.
⚠️ خطأ شائع: غير متقاطعَين ≠ متوازيَين بالضرورة — هما ليسا في نفس المستوى (متخالفَان).
ج) بيّن \((B'N) \subset (BCC'B')\) وأن \((B'N)\) و\((CC')\) متقاطعَين.
📐 الخاصية: \(B' \in (BCC'B')\) و\(N \in [BC] \subset (BCC'B')\) → نقطتان → احتواء.
1 \(B' \in (BCC'B')\) ✓ (رأس من الوجه). \(N \in [BC] \subset (BCC'B')\) ✓.
2 إذن \((B'N) \subset (BCC'B')\).
3 \((B'N)\) و\((CC')\) كلاهما في \((BCC'B')\). اتجاهاهما مختلفان → غير متوازيَين → يتقاطعان.
✓ \((B'N) \subset (BCC'B')\) و\((B'N)\) و\((CC')\) متقاطعَين.
⚠️ خطأ شائع: تأكد أن التقاطع داخل المستوى \((BCC'B')\).
د) بيّن أن \((B'N)\) و\((ACC')\) متقاطعَين. ارسم \(I\).
📐 الخاصية: نجد مستقيماً في \((ACC')\) يتقاطع مع \((B'N)\).
1 \((BCC'B') \cap (ACC') = (CC')\) (الحرف المشترك).
2 من ج: \((B'N)\) يقطع \((CC')\) → \((B'N)\) يقطع مستقيماً في \((ACC')\).
3 إذن \((B'N)\) يقطع المستوى \((ACC')\). نقطة التقاطع \(I\) على \((CC')\).
✓ \((B'N)\) يقطع \((ACC')\) في \(I \in (CC')\).
⚠️ خطأ شائع: \(I\) على الحرف \((CC')\) المشترك بين المستويَين.
هـ) ارسم \(J\) نقطة تقاطع \((BM)\) و\((ACC')\).
📐 الخاصية: نفس الطريقة: \((BM) \subset (BCC'B')\) ومستقيم \((CC')\) مشترك.
1 \(B \in (BCC'B')\) ✓ و\(M \in [B'C'] \subset (BCC'B')\) ✓ → \((BM) \subset (BCC'B')\).
2 \((BM)\) يقطع \((CC')\) في نقطة \(J\) (بالرسم). \((CC') \subset (ACC')\) → \(J \in (ACC')\).
✓ \(J = (BM) \cap (ACC')\) على الحرف \((CC')\).
⚠️ خطأ شائع: \(J \neq I\) — كل واحدة تقاطع مستقيم مختلف مع \((ACC')\).
انقر على نقطة لمعرفة خصائصها. افتح سؤالاً لإبراز عناصره.

خلاصة الخواص الأساسية

1) مستوى محدد بنقطتَين

إذا كانت لمستقيم نقطتان مشتركتان مع مستوى فهو محتوٍ فيه.
⚠️ نقطة مشتركة واحدة فقط تعني قطعا وليس احتواءً.

2) مستويان متقاطعان

نقطة مشتركة + غير منطبقَين → تقاطعهما مستقيم.
⚠️ لا تنسَ إثبات عدم الانطباق.

3) مستوى قاطع لمستويَين متوازيَين

إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين → خطا التقاطع متوازيان.
⚠️ سمّ المستويَين المتوازيَين صراحةً.

4) مستقيم موازٍ لمستوى

مستقيم يوازي مستقيماً محتوًى في مستوى + غير محتوٍ فيه → موازٍ للمستوى.
⚠️ التوازي مع مستقيم واحد فقط لا يكفي — يجب إثبات عدم الاحتواء.