التمرين 7 — مكعب ونقطة M على [BF]

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل مكعبا \(ABCDEFGH\)، و\(M\) نقطة من \([BF]\). حدد الوضعيات النسبية.
1) (AC) و (EG) — وضعية (AC) و(EG)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AC) محدد بالنقطتين A و C، لذلك نبدأ بفحص موضع A و C بالنسبة إلى المستوى (EG).
الخطوة 2: المستوى (EG) محدد بالنقاط E, G. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AC).
الخطوة 3: القطر (AC) في قاعدة المكعب، و(EG) في السقف، واتجاههما مختلف ولا يجتمعان في مستوى واحد ظاهر؛ لذلك ليسا في نفس المستوى.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: غير مستويين. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (EG).
✓ (AC) و (EG) : غير مستويين.
⚠️ الخطأ: إسقاط السقف على القاعدة والحكم بأن القطرين يتقاطعان.
2) (DB) و (CF) — وضعية (DB) و(CF)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (DB) محدد بالنقطتين D و B، لذلك نبدأ بفحص موضع D و B بالنسبة إلى المستوى (CF).
الخطوة 2: المستوى (CF) محدد بالنقاط C, F. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (DB).
الخطوة 3: (DB) قطر القاعدة، و(CF) قطر الوجه الجانبي، ولا توجد نقطة مشتركة ولا توازٍ بينهما.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: غير مستويين. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (CF).
✓ (DB) و (CF) : غير مستويين.
⚠️ الخطأ: الخلط بين C المشتركة مع (DB)، وهي ليست على (DB) إلا إذا كان القطر DB يمر بها وهذا غير صحيح.
3) (EH) و (CG) — EH ∥ CG؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (EH) محدد بالنقطتين E و H، لذلك نبدأ بفحص موضع E و H بالنسبة إلى المستوى (CG).
الخطوة 2: المستوى (CG) محدد بالنقاط C, G. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (EH).
الخطوة 3: الحرفان (EH) و(CG) رأسيان متناظران في المكعب ولهما الاتجاه نفسه ولا يتقاطعان.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متوازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (CG).
✓ (EH) و (CG) : متوازيان.
⚠️ الخطأ: اعتبارهما غير مستويين بسبب بعدهما في الرسم.
4) (CM) و (GF) — CM مع GF؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (CM) محدد بالنقطتين C و M، لذلك نبدأ بفحص موضع C و M بالنسبة إلى المستوى (GF).
الخطوة 2: المستوى (GF) محدد بالنقاط G, F. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (CM).
الخطوة 3: M على [BF] في هذا التمرين، و(CM) داخل الوجه BCGF، والمستقيم (GF) في الوجه نفسه؛ نحدد نقطة التقاطع داخل مستوى الوجه.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في M أو في امتداد الوجه. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (GF).
✓ (CM) و (GF) : متقاطعان في M أو في امتداد الوجه.
⚠️ الخطأ: تجاهل أن M موجود على الحرف BF داخل الوجه BCGF.
5) أكمل: (CH) ... (CF)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (CH) ... (CF)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: المستقيمان (CH) و(CF) يشتركان في النقطة C، لذلك هما متقاطعان.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو متقاطعان في C لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (CH) ... (CF).
✓ (CH) ... (CF) يعطي الرمز الصحيح: متقاطعان في C.
⚠️ الخطأ: اعتبارهما متوازيين لأنهما يظهران مائلين.
6) (AB) و (ADE) — AB يقطع (ADE)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AB) محدد بالنقطتين A و B، لذلك نبدأ بفحص موضع A و B بالنسبة إلى المستوى (ADE).
الخطوة 2: المستوى (ADE) محدد بالنقاط A, D, E. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AB).
الخطوة 3: A تنتمي إلى (AB) وتنتمي إلى (ADE)، وB لا تنتمي إلى (ADE)، إذن التقاطع في A.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في A. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (ADE).
✓ (AB) و (ADE) : متقاطعان في A.
⚠️ الخطأ: القول إن (AB) يوازي (ADE) لمجرد أنه في القاعدة.
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 7 — مكعب ونقطة M على [BF]

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى