التمرين 6 — مكعب ونقطة M على [CG]

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل مكعبا \(ABCDEFGH\)، و\(M\) نقطة من \([CG]\). أكمل الرموز وعلل.
1) أكمل: M ... (BFG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: M ... (BFG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: M على [CG]، وC وG في الوجه (BCGF)، كما أن (BFG) هو نفس مستوى الوجه BCFG، إذن M تنتمي إليه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في M ... (BFG).
✓ M ... (BFG) يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ: الظن أن M لا تنتمي لأنها ليست رأسا.
2) أكمل: A ... (BCD)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: A ... (BCD)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: النقاط A وB وC وD في قاعدة المكعب نفسها، لذلك A تنتمي إلى المستوى (BCD).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في A ... (BCD).
✓ A ... (BCD) يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ: قراءة (BCD) كمثلث فقط لا كمستوى القاعدة.
3) أكمل: (AF) ... (AEB)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (AF) ... (AEB)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: A تنتمي إلى (AEB)، لكن F لا تنتمي إلى المستوى (AEB)، لذلك (AF) غير محتوى فيه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \not\subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (AF) ... (AEB).
✓ (AF) ... (AEB) يعطي الرمز الصحيح: \not\subset.
⚠️ الخطأ: الاكتفاء بالنقطة A المشتركة.
4) أكمل: (AM) ... (BCG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (AM) ... (BCG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: M تنتمي إلى (BCG)، لكن A لا تنتمي إلى الوجه (BCG)، إذن (AM) غير محتوى فيه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \not\subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (AM) ... (BCG).
✓ (AM) ... (BCG) يعطي الرمز الصحيح: \not\subset.
⚠️ الخطأ: اعتبار المستقيم كله داخل الوجه لأن إحدى نقطتيه داخله.
5) (BF) و (AEG) — BF ∥ (AEG)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BF) محدد بالنقطتين B و F، لذلك نبدأ بفحص موضع B و F بالنسبة إلى المستوى (AEG).
الخطوة 2: المستوى (AEG) محدد بالنقاط A, E, G. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BF).
الخطوة 3: في المكعب، (BF) يوازي (AE)، والمستقيم (AE) محتوى في المستوى (AEG)، إذن (BF) يوازي (AEG).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متوازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (AEG).
✓ (BF) و (AEG) : متوازيان.
⚠️ الخطأ: الحكم بالتقاطع لأن (BF) حرف رأسي ظاهر في الرسم.
6) (BM) و (ABE) — BM يقطع (ABE)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BM) محدد بالنقطتين B و M، لذلك نبدأ بفحص موضع B و M بالنسبة إلى المستوى (ABE).
الخطوة 2: المستوى (ABE) محدد بالنقاط A, B, E. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BM).
الخطوة 3: النقطة B تنتمي إلى (BM) وتنتمي إلى (ABE)، أما M على [CG] فلا تنتمي إلى (ABE)، إذن التقاطع في B.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في B. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (ABE).
✓ (BM) و (ABE) : متقاطعان في B.
⚠️ الخطأ: افتراض أن (BM) محتوى في مستوى الوجه الأمامي.
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 6 — مكعب ونقطة M على [CG]

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى