التمرين 4 — توازي مستويات وتقاطعها

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\). أجب عن الأسئلة باستعمال التوازي والتقاطع بين المستقيمات والمستويات.
1) (AB) و (DCG) — AB ∥ (DCG)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AB) محدد بالنقطتين A و B، لذلك نبدأ بفحص موضع A و B بالنسبة إلى المستوى (DCG).
الخطوة 2: المستوى (DCG) محدد بالنقاط D, C, G. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AB).
الخطوة 3: في متوازي المستطيلات، (AB) ∥ (DC)، والمستقيم (DC) محتوى في المستوى (DCG)، إذن (AB) يوازي (DCG).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: موازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (DCG).
✓ (AB) و (DCG) : موازيان.
⚠️ الخطأ: اعتبار (AB) قاطعا لـ(DCG) لأنهما يظهران متقاربين في المنظور.
2) ما هي الوضعية النسبية للمستويين \((ABF)\) و\((DCG)\)؟
📐 الخاصية المستعملة: وجهان متقابلان في متوازي المستطيلات يكونان متوازيين.
الخطوة 1: المستوى \((ABF)\) يمر بالنقاط \(A,B,F\) ويمثل الوجه الأمامي في متوازي المستطيلات.
الخطوة 2: المستوى \((DCG)\) يمر بالنقاط \(D,C,G\) ويمثل الوجه الخلفي المقابل للوجه \((ABF)\).
الخطوة 3: الحواف \((AB)\) و\((DC)\) متوازية، وكذلك \((BF)\) و\((CG)\) متوازية.
الخطوة 4: بما أن الوجهين \((ABF)\) و\((DCG)\) متقابلان ولا يملكان نقطة مشتركة، فهما متوازيان.
✓ \((ABF) \parallel (DCG)\).
⚠️ الخطأ: الحكم من تقاطع الحواف المرسومة لا من الأوجه الحقيقية.
3) (BC) و (ADH) — BC ∥ (ADH)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BC) محدد بالنقطتين B و C، لذلك نبدأ بفحص موضع B و C بالنسبة إلى المستوى (ADH).
الخطوة 2: المستوى (ADH) محدد بالنقاط A, D, H. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BC).
الخطوة 3: في القاعدة ABCD لدينا (BC) ∥ (AD)، والمستقيم (AD) محتوى في (ADH)، إذن (BC) يوازي (ADH).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متوازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (ADH).
✓ (BC) و (ADH) : متوازيان.
⚠️ الخطأ: البحث عن I حقيقي بين (BC) و(AD)، وهما متوازيان في متوازي المستطيلات.
4) (FG) و (ADH) — FG ∥ (ADH)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (FG) محدد بالنقطتين F و G، لذلك نبدأ بفحص موضع F و G بالنسبة إلى المستوى (ADH).
الخطوة 2: المستوى (ADH) محدد بالنقاط A, D, H. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (FG).
الخطوة 3: لدينا (FG) ∥ (EH) و(EH) محتوى في (ADH)، كما أن (FG) لا يقطع (ADH)، إذن (FG) يوازي المستوى (ADH).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متوازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (ADH).
✓ (FG) و (ADH) : متوازيان.
⚠️ الخطأ: نسيان الحرف (EH) داخل المستوى (ADH).
5) حدد تقاطع المستويين \((ADH)\) و\((BCG)\).
📐 الخاصية المستعملة: مستويان متوازيان لا يتقاطعان، أما المستويان المتقاطعان فيتقاطعان وفق مستقيم.
الخطوة 1: المستوى \((ADH)\) هو الوجه الجانبي الأيسر المحدد بالنقاط \(A,D,H\).
الخطوة 2: المستوى \((BCG)\) هو الوجه الجانبي الأيمن المحدد بالنقاط \(B,C,G\).
الخطوة 3: الوجهان \((ADH)\) و\((BCG)\) متقابلان في متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\).
الخطوة 4: إذن هما متوازيان ولا يوجد بينهما مستقيم تقاطع.
✓ \((ADH) \parallel (BCG)\)، لذلك لا يوجد تقاطع.
⚠️ الخطأ: اعتبار الحواف المتناظرة في الرسم كأنها تلتقي عند نقطة بعيدة داخل الشكل.
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 4 — توازي مستويات وتقاطعها

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى