ارسم مثلثاً \(ACD\) متقايس الضلعين في \(A\). ليكن \(K\) منتصف \([CD]\).
ابنِ النقطة \(B\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
أ- بيّن أن \(ABHD\) متوازي أضلاع حيث \(H\) هي تقاطع الموازي لـ \((AD)\) من \(B\).
ب- استنتج أن \(D\) منتصف \([CH]\).
ج- بيّن أن \((AK) \perp (BC)\).
أ- الرباعي \(ABHD\) فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان حسب البناء، إذن هو متوازي أضلاع.
ب- بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع فإن \(AD=BC\) و \((AD)//(BC)\). ومن البناء \(AD=BH\)، وبما أن النقاط على استقامة واحدة فإن \(D\) هي المنتصف.
ج- في المثلث متقايس الضلعين \(ACD\)، الموسط \(AK\) هو أيضاً ارتفاع، وبما أن \((AD)//(BC)\) فإن التعامد ينتقل بالضرورة.
تمرين عدد 5: هندسة الفضاء (الهرم)
ليكن \(SABCD\) هرم قاعدته المربع \(ABCD\).
نعلم أن \(M \in [SB]\) و \(N \in [SA]\) حيث \((MN)//(AB)\).
ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((BN)\) و \((DM)\)؟ علل جوابك.
1) \(N \notin (ABC)\) لأن \(N\) نقطة من الضلع الجانبي للهرم. \((DM) \subset (SBD)\) لأن النقطتين \(D\) و \(M\) تنتميان للمستوي القطري للهرم.
2) بما أن \((MN)//(AB)\) و \((AB) \subset (ABC)\)، فإن المستقيم \((MN)\) يوازي المستوي القاعدي بالضرورة.
3) المستقيمان \((BN)\) و \((DM)\) هما **غير مستويين** (non coplanaires) لأنهما يقعان في مستويات قطرية مختلفة ولا يوجد مستوٍ واحد يجمعهما.
تمرين عدد 6: الموشور والزوايا
ليكن \(ABCDEF\) موشور ثلاثي قائم.
لدينا \(I \in [AB]\) و \(J \in [AC]\) و \(K \in [BF]\) بحيث \(\widehat{AIJ} = \widehat{ABC}\).
بيّن أن \((IJ) \subset (ABC)\).
بيّن أن \((MN)//(BC)\) ثم استنتج أن \((IJ)//(BCE)\).
1) النقطة \(I\) تنتمي لـ \([AB]\) و \(J\) تنتمي لـ \([AC]\)، وبما أن المستقيمين \((AB)\) و \((AC)\) محتويان في المستوي \((ABC)\)، فإن المستقيم المار منهما محتوى فيه أيضاً.
2) تساوي الزاويتين \(\widehat{AIJ}\) و \(\widehat{ABC}\) (وهما زاويتان متماثلتان) يثبت توازي المستقيمين \((IJ)\) و \((BC)\). وبما أن \((BC) \subset (BCE)\)، فإن \((IJ)//(BCE)\).