تمرين عدد 10

يمثل المجسم التالي كأسا جزؤه العلوي على شكل مخروط دوراني قائم ارتفاعه $15\,cm$ وشعاعه $3\,cm$ وقياس زاوية قطاعه الدائري $240^\circ$.

  1. احسب طول مولد المخروط.
  2. سكبنا في الكأس عصيرا حتى أصبح على شكل أسطوانة دائرية قائمة فامتلأ الكأس إلى ثلاثة أرباعه. احسب شعاع علبة العصير إذا علمت أن ارتفاع الأسطوانة هو $10\,cm$.
  3. وضعنا في الكأس قطعتين من الثلج على شكل كرات ففاض الكأس. ما هو شعاع قطعة الثلج؟

الإصلاح

  1. حسب الإصلاح: $2\pi g=\frac{2\pi R\times360^\circ}{90^\circ}$، ومنه $g=\frac{4\times360^\circ}{90^\circ}=16\,cm$.
  2. حجم المخروط: $V=\frac{\pi R^2h}{3}=\frac{\pi\times16\times15}{3}=80\pi\,cm^3$. حجم الأسطوانة: $V_1=\frac34V=67.5\pi\,cm^3$. وليكن $R_1$ شعاع الأسطوانة، عندئذ $V_1=\pi R_1^2h_1$، ومنه $R_1^2=\frac{67.5\pi}{7.5\pi}=9$، إذن $R_1=3\,cm$.
  3. حجم قطع الثلج: $90\pi-67.5\pi=22.5\pi\,cm^3$. حجم القطعة الواحدة: $V'=22.5\pi\div5=4.5\pi\,cm^3$. وليكن $R'$ شعاع قطعة الثلج، نستعمل: $\frac43\pi(R')^3=V'$.