تمرين عدد 9

  1. حل في $\mathbb{Q}$ المعادلة: $4x+15=\frac92-3x$.
  2. يمثل الرسم الموالي هرما قمته $S$ وقاعدته المربع $ABCD$ حيث إن المثلثين $SAB$ و $SMN$ متشابهان، و $x\in\mathbb{Q}$:
    $MN=\frac32-x$، $AB=2x+\frac{15}{2}$، $SN=5\,cm$، $NB=2.5\,cm$، $AM=2\,cm$.

أ) بيّن أن $x$ يحقق المعادلة السابقة. ب) احسب $AB$. ج) أوجد ارتفاع الهرم $SABCD$ إذا علمت أن حجمه $V=81\,cm^3$.

الإصلاح

  1. $4x+15=\frac92-3x$ يعني $4x+3x=\frac92-15$، ومنه $7x=-\frac{21}{2}$، إذن $x=-\frac32$. وبالتالي $S_{\mathbb Q}=\{-\frac32\}$.
  2. حسب التشابه: $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{MN}{AB}$. وبما أن $SB=SN+NB=5+2.5=7.5=\frac{15}{2}$ نحصل على $\frac{\frac32-x}{2x+\frac{15}{2}}=\frac{5}{\frac{15}{2}}=\frac23$. ومنه $3(\frac32-x)=2(2x+\frac{15}{2})$، أي $4x+15=\frac92-3x$.
  3. $AB=2(-\frac32)+\frac{15}{2}=\frac92\,cm$.
  4. $V=\frac{B h}{3}$، ومنه $h=\frac{3V}{B}=\frac{3V}{AB^2}=\frac{3\times81}{(\frac92)^2}=12\,cm$.