السلسلة المختلطة الرابعة
مجموعة تمارين متكاملة وشاملة للمراجعة النهائية
ABCD متوازي الأضلاع مركزه I حيث AB = 8cm و AD = 5cm و DÂB = 60°.
- عين على [AB] النقطة M حيث AM = 3cm ثم عين على [CD] النقطة N حيث CN = 3cm.
-
أ) أثبت تقايس المثلثين AMI و CNI.
ب) استنتج بقية العناصر النظيرة.
ج) بيّن أن I منتصف [MN].
2) أ- في المثلثين AMI و CNI لنا:
- (ABCD متوازي أضلاع) NC // AM و بالتالي NĈI = MÂI (زاويتان متبادلتان داخليا)
- ABCD متوازي أضلاع مركزه I إذن I منتصف [AC] ومنه AI = CI.
- AM = CN = 3cm (معطى)
إذن المثلثين AMI و CNI متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
ب- من التقايس نستنتج أن: MI = NI و IM̂A = IN̂C و AM̂I = CN̂I.
ج- بما أن MI = NI فإن I هي منتصف القطعة [MN].
لتكن دائرة C مركزها O و A و B نقطتين من C غير متقابلتين قطريا. منصف الزاوية AÔB يقطع C في M.
- أ) بيّن أن المثلثين OAM و OBM متقايسان. ب) إستنتج أن (OM) ⊥ (AB).
- المماس Δ للدائرة C في A يقطع المماس 'Δ للدائرة C في B في النقطة T. أ) بيّن تقايس المثلثين OAT و OBT. ب) إستنتج أن O و M و T على إستقامة واحدة.
1) أ- في المثلثين OAM و OBM لدينا:
- [OM] ضلع مشترك
- OA = OB (شعاع لـC)
- AÔM = BÔM لأن [OM) منصف الزاوية AÔB
و منه المثلثين AOM و BOM متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات العامة.
ب- بما أن OA = OB و المثلثين AOM و BOM متقايسان فإن العناصر النظيرة متقايسة مثنى مثنى ومنه MA = MB و بالتالي (OM) الموسط العمودي لـ [AB]. و منه (OM) ⊥ (AB).
2) أ- لدينا Δ المماس للدائرة C في A يقطع 'Δ المماس للدائرة C في B في النقطة T إذن المثلثين OAT و OBT قائمان على التوالي في A و B. في المثلثين القائمين OAT و OBT لدينا:
- [OT] وتر مشترك
- OA = OB
إذن OAT و OBT متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات القائمة.
ب- OAT و OBT متقايسان وينتج عن ذلك TA = TB يعني T ينتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB]. و منه T ∈ (OM). إذن نستنتج أن O و M و T على استقامة واحدة.
ارسم مثلثا ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A بحيث BC = 5cm, AB = 7cm.
- عين المنتصف I لـ [AC]. ابن النقطة D نظيرة B بالنسبة إلى I.
- بيّن أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
- المستقيم المار من D والموازي لـ (AC) يقطع (BC) في E. بيّن أن الرباعي ADEC متوازي أضلاع.
- استنتج أن C منتصف [BE].
2) القطران [AC] و [BD] للرباعي ABCD يتقاطعان في منتصفهما I، إذن ABCD متوازي أضلاع.
3) في الرباعي ADEC، لدينا (AD)//(CE) و (DE)//(AC)، إذن ADEC متوازي أضلاع.
4) بما أن ABCD متوازي أضلاع فإن AD=BC. وبما أن ADEC متوازي أضلاع فإن AD=CE. نستنتج أن BC=CE. وبما أن B, C, E على استقامة واحدة، فإن C منتصف [BE].
في الشكل التالي ABC مثلث و I منتصف [BC] و H المسقط العمودي لـ C على (AI) و K المسقط العمودي لـ B على (AI).
- أ / بيّن أن المثلثين CHI و BIK متقايسان.
- ب / استنتج أن المثلثين AIB و AIC لهما نفس المساحة.
- بيّن أن المثلثين IBH و ICK متقايسان.
1) أ) لنبين أن المثلثين CHI و BIK متقايسان:
المثلثان CHI و BIK قائمان في H و K على التوالي.
نقارن بينهما باستخدام حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).
- الوتر: I منتصف [BC]، إذن الوتر IC = IB.
- زاوية حادة: الزاويتان $$C\hat{I}H$$ و $$B\hat{I}K$$ متقابلتان بالرأس، إذن هما متقايستان.
إذن المثلثان CHI و BIK متقايسان.
1) ب) لنستنتج أن المثلثين AIB و AIC لهما نفس المساحة:
من تقايس CHI و BIK نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، أي CH = BK.
مساحة المثلث AIC هي $$ \frac{AI \times CH}{2} $$ (القاعدة AI والارتفاع CH).
مساحة المثلث AIB هي $$ \frac{AI \times BK}{2} $$ (القاعدة AI والارتفاع BK).
بما أن CH = BK، فإن للمثلثين نفس المساحة.
2) لنبين أن المثلثين IBH و ICK متقايسان:
نقارن بين ΔIBH و ΔICK باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع".
- الضلع الأول: IB = IC (معطى).
- الضلع الثاني: IH = IK (من تقايس المثلثين في السؤال 1).
- الزاوية المحصورة: $$H\hat{I}B = K\hat{I}C$$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان IBH و ICK متقايسان.
أرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في C بحيث BÂC = 70°.
- ابن منصف الزاوية BÂC الذي يقطع (BC) في D. المستقيم العمودي على (AD) والمار من D يقطع (AC) في N و (AB) في M.
- بيّن أن المثلثين AMD و AND متقايسان.
- استنتج أن (AD) هو الموسط العمودي لـ [MN].
- أوجد DMB و ANM.
2) في المثلثين AMD و AND لدينا: [AD] ضلع مشترك، AD̂M = AD̂N = 90°، MÂD = NÂD = 35° (لأن (AD] منصف). إذن المثلثان AND و AMD متقايسان وينتج أن: AM=AN, DM=DN.
3) بما أن AM=AN و DM=DN فإن A و D تنتميان للموسط العمودي لـ [MN]. إذن (AD) هو الموسط العمودي لـ [MN].
4) AMN مثلث متقايس الضلعين في A إذن AN̂M = (180° - 70°)/2 = 55°. DMB و AMN زاويتان متجاورتان ومتكاملتان إذن DM̂B = 180° - AN̂M = 180° - 55° = 125°.
- أرسم مثلث ABC متقايس الضلعين في A بحيث BC = 5cm و AB = 6cm. ثم ابنِ Δ الموسط العمودي لـ [BC].
- Δ يقطع (BC) في D. عيّن M من [AD] بحيث AM = 3cm. أ) بيّن أن المثلثين AMB و AMC متقايسان. ب) إستنتج أن (AD] هو منصف BÂC.
- لتكن H المسقط العمودي لـM على (AB) و K المسقط العمودي لـM على (AC). أ) بيّن أن AMH و AMK متقايسان. ب) إستنتج أن (HK) ⊥ Δ.
- ليكن 'Δ المستقيم المار من M و الموازي لـ (BC) و الذي يقطع (AB) في N و (AC) في P. بيّن أن M منتصف [NP].
2) أ- في المثلثين AMB و AMC لدينا:
- AB = AC = 6
- M نقطة من الموسط العمودي لـ [BC] إذن MB = MC
- [AM] ضلع مشترك
إذن AMB و AMC متقايسان حسب الحالة الثالثة لتقايس المثلثات العامة. ينتج عن ذلك: AMB = AMC, BÂM = CÂM, ABM = ACM.
ب- بما أن BÂM = CÂM فإنهما متقايسان و متجاورتان. أي أن (AM] هو منصف CÂB و D نقطة من (AM) و منه (AD] منصف CÂB.
3) أ- AMH قائم في H لأن H المسقط العمودي لـ M على (AB) و AMK قائم في K لأن K المسقط العمودي لـ M على (AC). في المثلثين القائمين AMH و AMK لدينا:
- [AM] وتر مشترك
- KÂM = HÂM لأن (AD] منصف CÂB و H نقطة من [AB] و K نقطة من [AC].
و منه AMH و AMK مثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات القائمة.
ب- لنا: AK = AH و MK = MH عناصر نظيرة في المثلثين المتقايسين AMH و AMK إذن (AM) هو الموسط العمودي لـ [HK] أي أن (HK) ⊥ (AM) و A و M نقطتان من Δ إذن (HK) ⊥ Δ.
4) لنا (BC) //' Δ و (BC) ⊥ Δ إذن Δ' ⊥ Δ. و Δ' ⊥ Δ إذن (NP) ⊥ Δ. و منه (NP) ⊥ (AM). و بهذا في المثلثين AMP و AMN لدينا:
- AMN = AMP = 90°
- MÂN = MÂP
- [AM] ضلع مشترك
إذن AMP و AMN متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات العامة ينتج عن ذلك تقايس العناصر النظيرة مثنى مثنى إذن MN = MP وبما أن M ∈ (PN) فإن M منتصف [PN].