سلسلة تمارين في تقايس المثلثات

المدرسة الإعدادية النموذجية بضفاف البحيرة فوزي الغربي
زاوية ومنصفها
1

نعتبر الزاوية \([\text{Ox}, \text{Oy}]\). \(A\) نقطة من منصفها \((Oz]\). \(B\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((\text{Ox}]\) و \(C\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((\text{Oy}]\).

  1. بيّن تقايس المثلثين \(OBA\) و \(OCA\).
  2. استنتج أن \(OB = OC\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال أ: بما أن B و C هما مسقطان عموديان، فإن المثلثين \(OBA\) و \(OCA\) قائمان. لمقارنتهما، ابحث عن وتر مشترك وزاوية حادة متقايسة.

للسؤال ب: هذا الاستنتاج هو نتيجة مباشرة لتقايس المثلثين. إذا كان مثلثان متقايسين، فماذا عن أضلاعهما المتناظرة؟

📝 الطريقة

أ) تقايس المثلثين \(OBA\) و \(OCA\):
لدينا \(B\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((Ox)\)، إذن المثلث \(OBA\) قائم في \(B\).
لدينا \(C\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((Oy)\)، إذن المثلث \(OCA\) قائم في \(C\).
نقارن بين المثلثين القائمين \(OBA\) و \(OCA\):

  • الوتر: الضلع \([OA]\) هو وتر مشترك للمثلثين.
  • زاوية حادة: \(A\) تنتمي للمنصف \((Oz]\)، إذن \(\widehat{BOA} = \widehat{COA}\).
إذن المثلثان متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).

ب) استنتاج أن \(OB = OC\):
بما أن المثلثين \(OBA\) و \(OCA\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة.
الضلع \([OB]\) في المثلث الأول نظير الضلع \([OC]\) في المثلث الثاني.
إذن، نستنتج أن \(OB = OC\).

✅ الحل الكامل

ملاحظة: تم تصحيح نص التمرين ليتوافق مع الهدف التعليمي المتمثل في خاصية المنصف.

أ) بيّن تقايس المثلثين \(OBA\) و \(OCA\).

حسب المعطيات، \(B\) و \(C\) هما المسقطان العموديان لـ \(A\) على ضلعي الزاوية.
إذن، المثلث \(OBA\) قائم في \(B\) والمثلث \(OCA\) قائم في \(C\).

نقارن بين المثلثين القائمين \(OBA\) و \(OCA\):

  • الضلع \([OA]\) هو وتر مشترك للمثلثين.
  • الزاوية \(\widehat{BOA}\) والزاوية \(\widehat{COA}\) متقايستان لأن \(A\) تنتمي لمنصف الزاوية \((Oz]\).

إذن، المثلثان \(OBA\) و \(OCA\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).

ب) استنتج أن \(OB = OC\).

بما أن المثلثين \(OBA\) و \(OCA\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة.
الضلع \([OB]\) نظير الضلع \([OC]\).
إذن، \(OB = OC\).

منتصف قطعة وموازاة
2

ليكن مثلث \(ABC\). عيّن \(I\) منتصف \([AB]\) ثم أرسم المستقيم \((\Delta)\) المار من \(B\) والموازي لـ \((AC)\). \((\Delta)\) يقطع المستقيم \((IC)\) في النقطة \(D\).

  1. بيّن تقايس المثلثين \(IAC\) و \(IBD\).
  2. استنتج أن \(IC = ID\) و \(AC=BD\).
  3. قارن المثلثين \(IAD\) و \(IBC\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لمقارنة المثلثين، استخدم حالة التقايس "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA). ابحث عن زوايا متقابلة بالرأس وزوايا متبادلة داخليًا ناتجة عن التوازي.

للسؤال 2: هذه الاستنتاجات هي نتيجة مباشرة لتقايس السؤال الأول. ابحث عن الأضلاع المتناظرة.

للسؤال 3: لمقارنة المثلثين \(IAD\) و \(IBC\)، استخدم نتائج السؤال السابق وحاول تطبيق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS).

📝 الطريقة

1) تقايس المثلثين \(IAC\) و \(IBD\):
نطبق حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • الزاوية: \(\widehat{IAC} = \widehat{IBD}\) (زاويتان متبادلتان داخليًا لأن \((AC)//(BD)\) والقاطع \((AB)\)).
  • الضلع: \(IA = IB\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • الزاوية: \(\widehat{AIC} = \widehat{BID}\) (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان متقايسان.

2) الاستنتاجات:
بما أن المثلثين \(IAC\) و \(IBD\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة.

  • الضلع \([IC]\) نظير \([ID]\)، إذن \(IC = ID\).
  • الضلع \([AC]\) نظير \([BD]\)، إذن \(AC = BD\).

3) مقارنة المثلثين \(IAD\) و \(IBC\):
نطبق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(IA = IB\) (معطى).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AID} = \widehat{BIC}\) (متقابلتان بالرأس).
  • الضلع: \(ID = IC\) (نتيجة من السؤال 2).
إذن المثلثان متقايسان.

✅ الحل الكامل

1) بيّن تقايس المثلثين \(IAC\) و \(IBD\).

نقارن المثلثين \(IAC\) و \(IBD\) باستخدام حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • \(\widehat{CAI} = \widehat{DBI}\) (زاويتان متبادلتان داخليًا ناتجتان عن المستقيمين المتوازيين \((AC)\) و \((\Delta)\) والقاطع \((AB)\)).
  • \(IA = IB\) (لأن \(I\) هي منتصف القطعة \([AB]\)).
  • \(\widehat{AIC} = \widehat{BID}\) (لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس).

إذن، المثلثان \(IAC\) و \(IBD\) متقايسان.

2) استنتج أن \(IC = ID\) و \(AC=BD\).

بما أن المثلثين \(IAC\) و \(IBD\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة مثنى مثنى:

  • الضلع \([IC]\) نظير الضلع \([ID]\)، إذن \(IC = ID\).
  • الضلع \([AC]\) نظير الضلع \([BD]\)، إذن \(AC = BD\).

3) قارن المثلثين \(IAD\) و \(IBC\).

نقارن المثلثين \(IAD\) و \(IBC\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • \(IA = IB\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • \(\widehat{AID} = \widehat{BIC}\) (لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس).
  • \(ID = IC\) (نتيجة من السؤال 2).

إذن، المثلثان \(IAD\) و \(IBC\) متقايسان.

تناظر مركزي وتواز
3

ليكن مثلث \(ABC\) و \(F\) منتصف \([AB]\). \(D\) هي نظيرة \(C\) بالنسبة للنقطة \(F\).

  1. بيّن أن المثلثين \(AFC\) و \(BFD\) متقايسان.
  2. استنتج أن \((AC)\) يوازي \((BD)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: ما معنى أن "D هي نظيرة C بالنسبة لـ F"؟ هذا يعني أن F هي منتصف [CD]. استخدم هذه المعلومة مع حقيقة أن F هي منتصف [AB] لمقارنة المثلثين بحالة "ضلع-زاوية-ضلع".

للسؤال 2: لإثبات توازي مستقيمين، يكفي إيجاد زاويتين متبادلتين داخليًا ومتقايستين. استخدم نتيجة تقايس المثلثين في السؤال الأول.

📝 الطريقة

1) تقايس المثلثين \(AFC\) و \(BFD\):
نطبق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(FA = FB\) (لأن \(F\) منتصف \([AB]\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AFC} = \widehat{BFD}\) (متقابلتان بالرأس).
  • الضلع: \(FC = FD\) (لأن \(D\) نظيرة \(C\) بالنسبة لـ \(F\)).
إذن المثلثان متقايسان.

2) استنتاج التوازي:
بما أن المثلثين \(AFC\) و \(BFD\) متقايسان، فإن زواياهما المتناظرة متقايسة.
الزاوية \(\widehat{FAC}\) تناظر الزاوية \(\widehat{FBD}\). إذن \(\widehat{FAC} = \widehat{FBD}\).
هاتان الزاويتان هما زاويتان متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين \((AC)\) و \((BD)\) والقاطع \((AB)\).
بما أنهما متقايستان، فإن المستقيمين \((AC)\) و \((BD)\) متوازيان.

✅ الحل الكامل

1) بيّن أن المثلثين \(AFC\) و \(BFD\) متقايسان.

نقارن المثلثين \(AFC\) و \(BFD\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • \(FA = FB\) (لأن \(F\) منتصف \([AB]\)).
  • \(\widehat{AFC} = \widehat{BFD}\) (لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس).
  • \(FC = FD\) (لأن \(D\) هي نظيرة \(C\) بالنسبة لـ \(F\)، مما يعني أن \(F\) هي منتصف \([CD]\)).

إذن، المثلثان \(AFC\) و \(BFD\) متقايسان.

2) استنتج أن \((AC)\) يوازي \((BD)\).

بما أن المثلثين \(AFC\) و \(BFD\) متقايسان، فإن زواياهما المتناظرة متقايسة.
الزاوية \(\widehat{FAC}\) (أو \(\widehat{CAB}\)) في المثلث الأول تناظر الزاوية \(\widehat{FBD}\) (أو \(\widehat{DBA}\)) في المثلث الثاني.
إذن، \(\widehat{FAC} = \widehat{FBD}\).
هاتان الزاويتان هما زاويتان متبادلتان داخليًا بالنسبة للمستقيمين \((AC)\) و \((BD)\) والقاطع \((AB)\).
بما أننا وجدنا زاويتين متبادلتين داخليًا متقايستين، فإننا نستنتج أن المستقيمين \((AC)\) و \((BD)\) متوازيان.