خصائص المثلث متقايس الضلعين

دراسة وتطبيقات على خاصية الزوايا والمستقيمات المعتبرة

💡الخاصية العكسية: إثبات أن المثلث متقايس الضلعين

هذه خاصية دليل القوةية ومهمة جداً، وهي عكس الخاصية المباشرة (التي تقول أن زاويتي القاعدة في مثلث متقايس الضلعين متقايستان). هنا، سنثبت أنه إذا تساوت زاويتان في مثلث، فإن الضلعين المقابلين لهما متقايسان.

إذا تقايست زاويتان في مثلث، فإن هذا المثلث متقايس الضلعين.Rule visual

البرهان (نشاط 2): كيف نثبت هذه الخاصية؟ (انقر لإظهار الخطوات)

المعطيات: لدينا مثلث ABC حيث $\angle ABC = \angle ACB$.
المطلوب: إثبات أن المثلث ABC متقايس الضلعين في A (أي $AB = AC$).

  1. نرسم خطًا مساعدًا: نرسم منصف الزاوية $\angle BAC$ الذي يقطع الضلع [BC] في النقطة I.
  2. نحدد المثلثين للمقارنة: نقارن بين المثلثين $\triangle AIB$ و $\triangle AIC$.
  3. نبحث عن شروط التقايس (AAS):
    • الزاوية: $\angle ABI = \angle ACI$ (لأن $\angle ABC = \angle ACB$ من المعطيات).
    • الزاوية: $\angle BAI = \angle CAI$ (لأن [AI] منصف للزاوية $\angle BAC$ حسب الإنشاء).
    • الضلع: $[AI]$ ضلع مشترك بين المثلثين.
  4. الاستنتاج: بما أن الشروط متوفرة، فإن المثلثين $\triangle AIB$ و $\triangle AIC$ متقايسان حسب حالة تقايس مثلثين بزاويتين وضلع (AAS).
  5. النتيجة النهائية: ينتج عن التقايس أن بقية العناصر المتناظرة متقايسة. ومنه، الضلع $[AB]$ نظير الضلع $[AC]$، أي أن $AB = AC$. إذن المثلث ABC متقايس الضلعين.

⚙️تطبيقات ومسائل

تمرين 1: التوازي والمثلثات

في الشكل المقابل، لدينا مثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A. ولدينا المستقيمات المتوازية: (BC) // (EF) و (OE) // (AC) و (OF) // (AB).

Exercise 1 Diagram

خطوات الحل:

  1. بيّن أن المثلث AMN متقايس الضلعين:
    • بما أن (OF) // (AB) و (OE) // (AC)، فإن الشكل الرباعي AFOE هو متوازي أضلاع.
    • بما أن (EF) // (BC)، و (AC) قاطع لهما، فإن الزاوية $\angle ANM = \angle ACB$ (زاويتان متناظرتان).
    • بما أن (EF) // (BC)، و (AB) قاطع لهما، فإن الزاوية $\angle AMN = \angle ABC$ (زاويتان متناظرتان).
    • نعلم من المعطيات أن $\angle ABC = \angle ACB$ (لأن $\triangle ABC$ متقايس الضلعين).
    • إذن، $\angle AMN = \angle ANM$. وبالتالي المثلث AMN متقايس الضلعين في A.
  2. قارن المثلثين BME و CNF:
    • نثبت بنفس الطريقة أن $\triangle BME$ و $\triangle CNF$ متقايسا الساقين.
    • باستخدام خصائص التوازي (نظرية طالس)، يمكن إثبات تقايس الأضلاع والزوايا، وبالتالي المثلثان متقايسان.
  3. استنتج أن المثلث OEF متقايس الضلعين:
    • من تقايس المثلثات السابقة، نستنتج أن $OE = OF$.
    • بما أن ضلعين في المثلث OEF متقايسان، فهو مثلث متقايس الضلعين.

تمرين 2: المتوسطات في المثلث متقايس الضلعين

نرسم مثلثًا AIR متقايس الضلعين قمته الرئيسية A. ثم نرسم المتوسطين [II'] و [RR'].

خطوات الحل:

  1. بيّن أن المثلثين AIR' و ARI' متقايسان:
    • نقارن المثلثين $\triangle AIR'$ و $\triangle ARI'$.
    • الشروط (SAS):
      • الضلع: $AI = AR$ (لأن $\triangle AIR$ متقايس الضلعين).
      • الزاوية: $\angle IAR$ زاوية مشتركة بين المثلثين.
      • الضلع: $AR' = AI'$. لماذا؟ لأن [II'] متوسط، فإن I' منتصف [AR]. ولأن [RR'] متوسط، فإن R' منتصف [AI]. وبما أن $AI = AR$ فإن نصفيهما متساويان.
    • الاستنتاج: المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية (SAS).
  2. ماذا تستنتج بالنسبة لبقية عناصر المثلثين؟

    ينتج عن التقايس أن $IR' = RI'$ و $II' = RR'$. أي أن المتوسطين المتعلقين بالضلعين المتقايسين يكونان متقايسين.

  3. لتكن M نقطة تقاطع [II'] و [RR']. بيّن أن المثلث MIR متقايس الضلعين.

    من التقايس السابق، نعلم أن $\angle AIR' = \angle ARI'$. أيضًا $\angle R'IM = \angle I'RM$. بالنظر للمثلث MIR، نجد أن زاويتي قاعدته متقايستان، إذن هو متقايس الضلعين ($MI=MR$).