نقول عن مثلثين أنهما متقايسان إذا كانا قابلين للتطابق. ببساطة، يعني هذا أنه يمكننا وضع أحدهما فوق الآخر بحيث يتطابقان تمامًا.
مصطلحات: في المثال أعلاه، الرأس A نظير E، والضلع [AB] نظير [EF]، والزاوية \(\widehat{BAC}\) تناظر \(\widehat{FEG}\).
لإثبات تقايس مثلثين، لا نحتاج لمقارنة كل الأضلاع وكل الزوايا. يكفي التحقق من إحدى الحالات الثلاث التالية:
يتقايس مثلثان إذا قايس ضلع والزاويتان المجاورتان له في أحدهما ضلعًا والزاويتين المجاورتين له في الثاني.
يتقايس مثلثان إذا قايس ضلعان والزاوية المحصورة بينهما في أحدهما ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في الثاني.
يتقايس مثلثان إذا قايست الأضلاع الثلاثة في أحدهما الأضلاع الثلاثة في الثاني مثنى مثنى.
للمثلثات القائمة حالتا تقايس خاصتان بالإضافة إلى الحالات العامة:
يتقايس مثلثان قائمان إذا قايس الوتر وزاوية حادة في أحدهما الوتر وزاوية حادة في الثاني.
يتقايس مثلثان قائمان إذا قايس الوتر وضلع قائم في أحدهما الوتر وضلعاً قائماً في الثاني.
تقايس المثلثات يساعدنا على إثبات خصائص المثلثات المتقايسة الضلعين والمتقايسة الأضلاع.
إذا كان مثلث متقايس الضلعين، فإن زاويتي القاعدة متقايستان. والعكس صحيح: إذا تقايست زاويتان في مثلث فإنه متقايس الضلعين.
الموسط والارتفاع والمنصف الصادر من القمة الرئيسية منطبقون.
هو مثلث متقايس الضلعين قيس إحدى زواياه 60 درجة. جميع زواياه متقايسة وقيس كل منها 60 درجة.
منصف الزاوية له خاصية مهمة ترتبط بالمسافات، ويمكن إثباتها بتقايس المثلثات القائمة.
ضلع + زاويتان مجاورتان
ضلعان + زاوية محصورة
ثلاثة أضلاع
وتر + زاوية حادة
وتر + ضلع قائم