\( ABC \) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \( A \). منصّف الزاوية \( \widehat{ABC} \) يقطع \( (AC) \) في \( M \)، ومنصّف الزاوية \( \widehat{ACB} \) يقطع \( (AB) \) في \( N \).
1) قارن المثلثين \( BCM \) و \( BCN \). 2) \( (BN) \) و \( (CM) \) يتقاطعان في \( P \). قارن \( APM \) و \( APN \) واستنتج أنّ \( [PA) \) منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \).
المرحلة 1: ارسم الشكل وحدّد المثلثين المطلوب إثبات تقايسهما.
المرحلة 2: اكتب ثلاثة عناصر متقايسة موافقة لإحدى حالات التقايس.
المرحلة 3: استنتج التقايس ثمّ ما يلزم (تساوي أضلاع/زوايا، منصّف، منتصف…).
بما أنّ \( ABC \) متقايس الضلعين رأسه \( A \) فإنّ \( \widehat{ABC}=\widehat{ACB} \).
1) في \( BCM \) و \( BCN \): \( [BC] \) مشترك، \( \widehat{MBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{NCB} \) (المنصّفان)، و \( \widehat{MCB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{NBC} \). إذن متقايسان وفق زاوية-ضلع-زاوية، ومنه \( CM=BN \) و \( BM=CN \) ✓
2) \( AM=AC-CM=AB-BN=AN \). والمثلث \( PBC \) متقايس الضلعين (لأنّ \( \widehat{PBC}=\widehat{PCB} \)) ⇐ \( PB=PC \)، ومنه \( PM=CM-PC=BN-PB=PN \). في \( APM \) و \( APN \): \( AM=AN \)، \( PM=PN \)، \( [AP] \) مشترك ⇐ متقايسان وفق ضلع-ضلع-ضلع، ومنه \( \widehat{MAP}=\widehat{NAP} \) أي \( [PA) \) منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \) ✓