\( ABC \) مثلث قائم الزاوية في \( C \) بحيث \( \widehat{BAC}=70^\circ \). منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \) يقطع \( (BC) \) في \( D \). المستقيم \( \Delta \) العمودي على \( (AD) \) المار من \( D \) يقطع \( (AC) \) في \( N \) و \( (AB) \) في \( M \).
1) أثبت تقايس \( AMD \) و \( AND \). 2) استنتج أنّ \( (AD) \) موسط عمودي لـ \( [MN] \).
3) أوجد \( \widehat{ANM} \) و \( \widehat{BMD} \). 4) هل \( BMD \) و \( CND \) متقايسان؟ علّل.
المرحلة 1: ارسم الشكل وحدّد المثلثين المطلوب إثبات تقايسهما.
المرحلة 2: اكتب ثلاثة عناصر متقايسة موافقة لإحدى حالات التقايس.
المرحلة 3: استنتج التقايس ثمّ ما يلزم (تساوي أضلاع/زوايا، منصّف، منتصف…).
1) في \( AMD \) و \( AND \): \( [AD] \) مشترك، \( \widehat{MAD}=\widehat{NAD} \) (المنصّف)، \( \widehat{ADM}=\widehat{ADN}=90^\circ \) (\( \Delta\perp(AD) \)). إذن متقايسان وفق زاوية-ضلع-زاوية ✓
2) منه \( AM=AN \) و \( DM=DN \): النقطتان \( A \) و \( D \) على الموسط العمودي لـ \( [MN] \)، إذن \( (AD) \) هو الموسط العمودي لـ \( [MN] \) ✓
3) \( \widehat{MAD}=\widehat{NAD}=35^\circ \). المثلث \( AMN \) متقايس الضلعين رأسه \( A \) وزاويته \( 70^\circ \)، إذن \( \widehat{ANM}=\dfrac{180^\circ-70^\circ}{2}=55^\circ \). و \( \widehat{AMD}=55^\circ \) ومنه \( \widehat{BMD}=180^\circ-55^\circ=125^\circ \) ✓
4) لدينا \( DM=DN \) و \( \widehat{BDM}=\widehat{CDN}=35^\circ \)، لكنّ \( \widehat{DBM}=\widehat{ABC}=20^\circ \) بينما \( \widehat{DCN}=\widehat{ACB}=90^\circ \). فالزاويتان غير متقايستين، إذن المثلثان غير متقايسين ✗