\( ABCD \) مربّع، والنقط \( E,F,G,H \) على أضلاعه بحيث \( AE=BF=CG=DH \) (\( E\in[AB],\,F\in[BC],\,G\in[CD],\,H\in[DA] \)). بيّن أنّ \( EFGH \) مربّع.
المرحلة 1: ارسم الشكل وحدّد المثلثين المطلوب إثبات تقايسهما.
المرحلة 2: اكتب ثلاثة عناصر متقايسة موافقة لإحدى حالات التقايس.
المرحلة 3: استنتج التقايس ثمّ ما يلزم (تساوي أضلاع/زوايا، منصّف، منتصف…).
نضع \( AE=BF=CG=DH=k \) وضلع المربّع \( a \). فيكون \( HA=EB=FC=GD=a-k \).
نقارن المثلثات القائمة \( AEH,\,BFE,\,CGF,\,DHG \): في كلٍّ منها ضلعان \( k \) و \( a-k \) محصوران بزاوية قائمة (زوايا المربّع). إذن هي متقايسة وفق ضلع-زاوية-ضلع، ومنه \( HE=EF=FG=GH \): للرباعي \( EFGH \) أربعة أضلاع متقايسة.
وأيضًا \( \widehat{AEH}=\widehat{BFE} \)؛ ولأنّ \( \widehat{AEH}+\widehat{BEF}=\widehat{AEH}+\widehat{AHE}=90^\circ \)، فإنّ \( \widehat{HEF}=180^\circ-90^\circ=90^\circ \).
إذن \( EFGH \) رباعي أضلاعه متقايسة وله زاوية قائمة ⇐ مربّع ✓