\( ABC \) مثلث متقايس الضلعين رأسه \( A \) و \( M \) منتصف \( [BC] \). لتكن \( I \) نقطة من \( [AB] \) و \( J \) نقطة من \( [AC] \) بحيث \( AJ=AI \).
1) بيّن أنّ المثلث \( MIJ \) متقايس الضلعين. 2) بيّن أنّ \( J=S_{(AM)}(I) \).
المرحلة 1: ارسم الشكل وحدّد المثلثين المطلوب إثبات تقايسهما.
المرحلة 2: اكتب ثلاثة عناصر متقايسة موافقة لإحدى حالات التقايس.
المرحلة 3: استنتج التقايس ثمّ ما يلزم (تساوي أضلاع/زوايا، منصّف، منتصف…).
بما أنّ \( ABC \) متقايس الضلعين رأسه \( A \) و \( M \) منتصف \( [BC] \)، فإنّ \( (AM) \) محور تماثل المثلث: فهو منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \) وعمودي على \( (BC) \).
1) في المثلثين \( AMI \) و \( AMJ \):
• \( AI=AJ \) (معطى).
• \( [AM] \) ضلع مشترك.
• \( \widehat{IAM}=\widehat{JAM} \) (لأنّ \( (AM) \) منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \)).
إذن متقايسان وفق ضلع-زاوية-ضلع، ومنه \( MI=MJ \) أي المثلث \( MIJ \) متقايس الضلعين ✓
2) \( (AM) \) محور تماثل، و \( I\in[AB] \)، \( J\in[AC] \) مع \( AI=AJ \). إذن \( J \) مناظرة \( I \) بالنسبة إلى \( (AM) \): \( J=S_{(AM)}(I) \) ✓