\( ABC \) مثلث بحيث \( AC=AB \). \( M \) نقطة من \( [AB] \) و \( N \) نقطة من \( [AC] \) بحيث \( AM=AN \).
1) قارن \( ABN \) و \( ACM \) واستنتج \( \widehat{ANB}=\widehat{AMC} \). 2) \( I=(BN)\cap(CM) \): بيّن \( CN=MB \) و \( \widehat{INC}=\widehat{IMB} \).
3) قارن \( IBM \) و \( ICN \) واستنتج \( IN=IM \). 4) بيّن أنّ \( [AI) \) منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \).
المرحلة 1: ارسم الشكل وحدّد المثلثين المطلوب إثبات تقايسهما.
المرحلة 2: اكتب ثلاثة عناصر متقايسة موافقة لإحدى حالات التقايس.
المرحلة 3: استنتج التقايس ثمّ ما يلزم (تساوي أضلاع/زوايا، منصّف، منتصف…).
1) في \( ABN \) و \( ACM \): \( AB=AC \)، \( AN=AM \)، والزاوية \( \widehat{BAC} \) مشتركة. إذن متقايسان وفق ضلع-زاوية-ضلع، ومنه \( \widehat{ANB}=\widehat{AMC} \) ✓
2) \( CN=AC-AN \) و \( MB=AB-AM \)، وبما أنّ \( AC=AB \) و \( AN=AM \) فإنّ \( CN=MB \). ولأنّ \( A,N,C \) و \( A,M,B \) على استقامة، فإنّ \( \widehat{INC}=180^\circ-\widehat{ANB}=180^\circ-\widehat{AMC}=\widehat{IMB} \) ✓
3) في \( IBM \) و \( ICN \): \( MB=CN \)، \( \widehat{IMB}=\widehat{INC} \)، و \( \widehat{IBM}=\widehat{ICN} \) (لأنّ \( \widehat{ABN}=\widehat{ACM} \) من التقايس الأوّل). إذن متقايسان وفق زاوية-ضلع-زاوية، ومنه \( IM=IN \) ✓
4) في \( AIM \) و \( AIN \): \( AM=AN \)، \( IM=IN \)، \( [AI] \) مشترك ⇐ متقايسان وفق ضلع-ضلع-ضلع، ومنه \( \widehat{MAI}=\widehat{NAI} \) أي \( [AI) \) منصّف الزاوية \( \widehat{BAC} \) ✓