\( ABC \) مثلث قائم الزاوية في \( A \). المستقيم العمودي على \( (AB) \) المار من \( B \) نعيّن عليه نقطة \( D \) بحيث \( AC=BD \) و \( C,D \) في نفس الجهة من \( (AB) \).
1) بيّن أنّ \( BC=AD \). 2) لتكن \( I \) منتصف \( [AB] \). قارن المثلثين \( ACI \) و \( BDI \) ثمّ استنتج أنّ \( I \) منتصف \( [CD] \).
المرحلة 1: ارسم الشكل وحدّد المثلثين المطلوب إثبات تقايسهما.
المرحلة 2: اكتب ثلاثة عناصر متقايسة موافقة لإحدى حالات التقايس.
المرحلة 3: استنتج التقايس ثمّ ما يلزم (تساوي أضلاع/زوايا، منصّف، منتصف…).
1) في المثلثين \( CAB \) و \( DBA \):
• \( AC=BD \) (معطى).
• \( \widehat{CAB}=\widehat{DBA}=90^\circ \) (الأولى لأنّ المثلث قائم في \( A \)، والثانية لأنّ \( (BD)\perp(AB) \)).
• \( [AB] \) ضلع مشترك.
إذن المثلثان متقايسان وفق الحالة ضلع-زاوية-ضلع، ومنه \( BC=AD \) ✓
2) في المثلثين \( ACI \) و \( BDI \): \( IA=IB \) (\( I \) منتصف \( [AB] \))، \( AC=BD \) (معطى)، \( \widehat{IAC}=\widehat{IBD}=90^\circ \). إذن هما متقايسان وفق الحالة ضلع-زاوية-ضلع، ومنه \( IC=ID \) و \( \widehat{AIC}=\widehat{BID} \). وبما أنّ \( C,D \) على جهتين من \( (AB) \) تكون \( C,I,D \) على استقامة واحدة، إذن \( I \) منتصف \( [CD] \) ✓