الحالة الثانية: الوتر وضلع من أضلاع الزاوية القائمة
- تونس
التمرين 1: المثلث القائم والعمودي
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABC\) مثلث قائم في \(A\). ارسم المستقيم العمودي على \((AB)\) في \(B\). عيّن عليه نقطة \(D\) بحيث \(BD = AC\).
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(ABC\) و \(BAD\).
💡 مساعدة
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)
• العمودي على \((AB)\) في \(B\) يعني أن المثلث \(BAD\) قائم في \(B\)
• المعطى: \(BD = AC\)
• الضلع \(AB\) مشترك بين المثلثين
• لدينا ضلعان من أضلاع الزاوية القائمة في كل مثلث
📋 المنهجية
الخطوات:
1. حدد المثلثين القائمين ونقطتي القائمة
2. حدد الأضلاع المشتركة
3. استخدم المعطى \(BD = AC\)
4. طبق حالة "ضلعان من أضلاع الزاوية القائمة"
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(ABC\) و \(BAD\) لدينا:
المثلث \(ABC\): قائم في \(A\)
المثلث \(BAD\): قائم في \(B\) (عمودي على \((AB)\))
ضلع من أضلاع الزاوية القائمة:\(AC = BD\) (معطى)
ضلع مشترك من أضلاع الزاوية القائمة:\([AB]\) مشترك
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان بتوفر ضلعين من أضلاع الزاوية القائمة نتيجة: الوتران متساويان: \(BC = AD\)
التمرين 2: المماسات من نقطة خارجية
📐 المعطيات والمطلوب:
لتكن دائرة مركزها \(O\). ارسم المماسين المنطلقين من نقطة خارجية \(T\) واللذين يلمسان الدائرة في \(A\) و \(B\).
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(OTA\) و \(OTB\).
💡 مساعدة
• المماس عمودي على نصف القطر في نقطة التماس
• المثلثان قائمان في \(A\) و \(B\)
• الوتر المشترك هو \([OT]\)
• \(OA = OB\) (أنصاف أقطار)
• نستخدم "الوتر وضلع من أضلاع الزاوية القائمة"
المثلث \(OTA\): قائم في \(A\) (المماس عمودي على نصف القطر)
المثلث \(OTB\): قائم في \(B\) (المماس عمودي على نصف القطر)
الوتر المشترك:\([OT]\) وتر مشترك بين المثلثين
ضلع من أضلاع الزاوية القائمة:\(OA = OB\) (أنصاف أقطار في نفس الدائرة)
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب حالة (الوتر وضلع من أضلاع الزاوية القائمة) نتيجة: المماسان متساويان: \(TA = TB\)
التمرين 3: المثلث القائم والمنتصف
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABC\) مثلث قائم في \(A\). \(I\) منتصف \([AB]\). العمودي على \((AB)\) في \(B\) يقطع \((IC)\) في \(D\).
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(AIC\) و \(BID\).
💡 مساعدة
• المثلث \(AIC\) قائم في \(A\)
• المثلث \(BID\) قائم في \(B\)
• \(AI = BI\) (منتصف)
• الزوايا \(\widehat{AIC}\) و \(\widehat{BID}\) متقابلتان بالرأس
• هذا التمرين معقد - نحتاج لاستخدام الحالة الثانية (ضلعان وزاوية)
📋 المنهجية
للبرهان:
1. حدد المثلثين القائمين
2. استخدم \(AI = BI\)
3. استخدم الزوايا المتقابلة بالرأس
4. استنتج التقايس
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(AIC\) و \(BID\) لدينا:
المثلث \(AIC\): قائم في \(A\)
المثلث \(BID\): قائم في \(B\)
ضلع من أضلاع الزاوية القائمة:\(AI = BI\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\))
باستخدام الحالة الثانية (ضلع وزاويتان):
المثلثان متقايسان
الاستنتاج: يتقايس المثلثان نتيجة:\(IC = ID\) (أي \(I\) منتصف \([CD]\))
التمرين 4: الدائرة ومنتصف الوتر
📐 المعطيات والمطلوب:
دائرة مركزها \(O\). \([AB]\) وتر فيها و \(I\) منتصفه.
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(OIA\) و \(OIB\).
💡 مساعدة
• المستقيم الواصل بين المركز ومنتصف الوتر عمودي على الوتر
• إذن \(OI \perp AB\)
• المثلثان قائمان في \(I\)
• \(OA = OB\) (أنصاف أقطار) - هذه الوتران
• \(AI = IB\) (منتصف) - هذه أضلاع الزاوية القائمة
📋 المنهجية
للبرهان:
1. أثبت أن \(OI \perp AB\)
2. حدد الوترين والأضلاع القائمة
3. قارن العناصر
4. طبق حالة "الوتر وضلع القائمة"
✅ الحل الكامل
خاصية أساسية:
المستقيم الواصل بين مركز الدائرة ومنتصف وتر عمودي على هذا الوتر
إذن \(OI \perp AB\)
في المثلثين القائمين \(OIA\) و \(OIB\) لدينا:
قائمان في \(I\): لأن \(OI \perp AB\)
الوتران:\(OA = OB\) (أنصاف أقطار)
ضلع من أضلاع الزاوية القائمة:\(AI = IB\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\))
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب حالة (الوتر وضلع من أضلاع الزاوية القائمة) أو: يمكن استخدام الحالة الثالثة (ثلاثة أضلاع) مع الضلع المشترك \(OI\)
التمرين 5: المثلث متقايس الضلعين والعموديان
📐 المعطيات والمطلوب:
مثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته \(A\). \(M\) منتصف \([BC]\). ارسم \([MD]\) عمودياً على \((AB)\) و \([ME]\) عمودياً على \((AC)\).
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(MDB\) و \(MEC\).
💡 مساعدة
• المثلث متقايس الضلعين: زاويتا القاعدة متساويتان
• \(M\) منتصف القاعدة: \(MB = MC\)
• المثلثان قائمان في \(D\) و \(E\)
• الوتران هما \(MB\) و \(MC\)
• نستخدم "الوتر وزاوية حادة"
📋 المنهجية
خطوات الحل:
1. استخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين
2. استخدم خاصية المنتصف
3. قارن الوترين والزوايا
4. طبق حالة "الوتر وزاوية حادة"
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(MDB\) و \(MEC\) لدينا:
المثلث \(MDB\): قائم في \(D\) (عمودي على \((AB)\))
المثلث \(MEC\): قائم في \(E\) (عمودي على \((AC)\))
الوتران:\(MB = MC\) (لأن \(M\) منتصف \([BC]\))
الزوايا الحادة:\(\widehat{MBD} = \widehat{MCE}\) (زاويتا القاعدة في مثلث متقايس الضلعين)
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان القائمان حسب حالة (الوتر وزاوية حادة) نتيجة:\(MD = ME\) (أي \(M\) تبعد نفس البعد عن ضلعي المثلث)
\(ABC\) مثلث قائم ومتقايس الضلعين في \(A\). من \(B\) عمودي \([BM]\) على مستقيم يمر من \(A\). ومن \(C\) عمودي \([CN]\) على نفس المستقيم.
المطلوب: قارن المثلثين \(ABM\) و \(ACN\).
💡 مساعدة
• المثلث قائم ومتقايس الضلعين في \(A\): \(AB = AC\) و \(\widehat{B} = \widehat{C} = 45°\)
• المثلثان \(ABM\) و \(ACN\) قائمان في \(M\) و \(N\)
• الوتران هما \(AB\) و \(AC\)
• نحتاج لإثبات تساوي الزوايا
📋 المنهجية
للبرهان:
1. استخدم خصائص المثلث القائم متقايس الضلعين
2. حدد الوترين
3. حلل الزوايا باستخدام التعامد
4. طبق حالة مناسبة
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(ABM\) و \(ACN\) لدينا:
المثلث \(ABM\): قائم في \(M\)
المثلث \(ACN\): قائم في \(N\)
الوتران:\(AB = AC\) (المثلث الأصلي متقايس الضلعين)
الزوايا الحادة: بتحليل الزوايا نجد أن \(\widehat{BAM} = \widehat{CAN}\) (أو زوايا متتامة مع نفس الزوايا)
\(OAB\) مثلث قائم في \(A\). \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة لـ \(A\).
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(OAB\) و \(OAC\).
💡 مساعدة
• التناظر المركزي: \(AB = AC\)
• المثلثان قائمان في \(A\)
• الضلع \(OA\) مشترك
• لدينا ضلعان من أضلاع الزاوية القائمة
📋 المنهجية
للبرهان:
1. استخدم التناظر المركزي
2. حدد الأضلاع المتساوية
3. حدد الضلع المشترك
4. طبق حالة "ضلعان من أضلاع الزاوية القائمة"
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(OAB\) و \(OAC\) لدينا:
قائمان في \(A\): المثلثان قائمان في نفس النقطة
ضلع من أضلاع الزاوية القائمة:\(AB = AC\) (بالتناظر المركزي)
ضلع مشترك من أضلاع الزاوية القائمة:\([OA]\) مشترك
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان القائمان بضلعين من أضلاع الزاوية القائمة نتيجة: الوتران متساويان: \(OB = OC\)
التمرين 8: المربع والدائرة المحاطة
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABCD\) مربع. ارسم دائرة قطرها \([AB]\). ارسم المماس \((DM)\) للدائرة حيث \(O\) المركز.
المطلوب: قارن المثلثين القائمين \(OAD\) و \(OMD\).
💡 مساعدة
• المربع: زاوية قائمة في \(A\)
• المماس عمودي على نصف القطر: زاوية قائمة في \(M\)
• الوتر المشترك: \([OD]\)
• \(OA = OM\) (أنصاف أقطار)
• نستخدم "الوتر وضلع القائمة"
المثلث \(OMD\): قائم في \(M\) (المماس عمودي على نصف القطر)
الوتر المشترك:\([OD]\) وتر مشترك
ضلع من أضلاع الزاوية القائمة:\(OA = OM\) (أنصاف أقطار)
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب حالة (الوتر وضلع من أضلاع الزاوية القائمة) نتيجة:\(AD = MD\)
التمرين 9: الزاوية القائمة
📐 المعطيات والمطلوب:
نعتبر زاوية قائمة \([Ox, Oy)\). عيّن \(A, B\) على \([Ox)\) و \(C, D\) على \([Oy)\) بحيث \(OA = OC\) و \(OB = OD\).
المطلوب: قارن المثلثين \(OAD\) و \(OCB\).
💡 مساعدة
• الزاوية \(\widehat{xOy}\) قائمة
• المثلثان \(OAD\) و \(OCB\) قائمان في \(O\)
• المعطيات: \(OA = OC\) و \(OB = OD\)
• لدينا ضلعان من أضلاع الزاوية القائمة في كل مثلث
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. حدد المثلثين القائمين
2. استخدم المعطيات
3. قارن أضلاع الزاوية القائمة
4. طبق حالة "ضلعان من أضلاع الزاوية القائمة"
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(OAD\) و \(OCB\) لدينا:
قائمان في \(O\): لأن الزاوية \(\widehat{xOy}\) قائمة
ضلع أول من أضلاع الزاوية القائمة:\(OA = OC\) (معطى)
ضلع ثانٍ من أضلاع الزاوية القائمة:\(OD = OB\) (معطى)
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان القائمان بضلعين من أضلاع الزاوية القائمة نتيجة: الوتران متساويان: \(AD = CB\)
التمرين 10: المربع والعمودي
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABCD\) مربع. \(M\) نقطة من \([AB]\). المستقيم المار من \(M\) والعمودي على \((MC)\) يقطع \([AD]\) في \(P\).
المطلوب: قارن المثلثين \(BMC\) و \(APM\).
💡 مساعدة
• المثلث \(BMC\) قائم في \(B\)
• المثلث \(APM\) قائم في \(A\)
• \(BC = AB\) (أضلاع المربع)
• نحتاج لإثبات تساوي الزوايا الحادة
• استخدم خصائص الزوايا والعموديات
📋 المنهجية
خطوات الحل:
1. حدد المثلثين القائمين
2. استخدم خصائص المربع
3. حلل الزوايا باستخدام الزوايا المتتامة
4. طبق حالة "الوتر وزاوية حادة"
✅ الحل الكامل
في المثلثين القائمين \(BMC\) و \(APM\) لدينا:
المثلث \(BMC\): قائم في \(B\)
المثلث \(APM\): قائم في \(A\)
الوتران:\(BC = AB\) (أضلاع المربع)
الزوايا الحادة: بتحليل دقيق للزوايا باستخدام خصائص المربع والعموديات، نجد أن \(\widehat{MCB} = \widehat{PMA}\) (أو \(\widehat{MCB} = \widehat{PAM}\))
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان نتيجة:\(MB = AP\) و \(MC = PM\) ملاحظة: هذا التمرين يتطلب تحليلاً دقيقاً للزوايا