1. في مثلث $ABC$ متقايس الضلعين قمته $A$. لتكن $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $[BC]$. المثلثان $ABH$ و $ACH$ يتقايسان بـ (وتر وضلع) لأن:
الإصلاح: الوتران هما ساقا المثلث المتقايس الضلعين، والارتفاع $[AH]$ هو ضلع قائم مشترك للمثلثين القائمين.
2. في دائرة مركزها $O$، إذا كان $[AB]$ حبل. نعتبر $M$ منتصف $[AB]$. المثلثان $OMA$ و $OMB$ يتقايسان بـ (وتر وضلع) لأن:
الإصلاح: بما أن $M$ منتصف الوتر، والمثلث $OAB$ متقايس الضلعين (أشعة)، فإن المتوسط هو نفسه الارتفاع، مما يوفر ضلعاً قائماً ووتراً متساويين.
3. لتكن $ABCD$ مستطيلاً. المسقطان العموديان لـ $A$ و $C$ على القطر $[BD]$ يكوّنان مثلثين يتقايسان بـ (وتر وضلع) إذا كان:
الإصلاح: في المستطيل $AB=CD$ (وتران) والمسافات العمودية للرؤوس المتقابلة عن القطر متساوية دائماً (ضلع قائم).
4. في معين $ABCD$، إذا رسمنا الارتفاعين من $B$ على $(AD)$ ومن $B$ على $(CD)$. يتقايس المثلثان الناتجان لأن:
الإصلاح: أوتار المثلثات هي أضلاع المعين (متساوية)، وبما أن الارتفاعات الصادرة من نفس الرأس في المعين متساوية، تتحقق الحالة الثانية.
5. "قاعدة الموسط": في مثلث قائم، الموسط المتعلق بالوتر يقسم المثلث لمثلثين. هل يتقايسان بـ (وتر وضلع قائم)؟
الإصلاح: الموسط يقسم المثلث لمثلثين متقايسي الضلعين، لكنهما لا يتقايسان فيما بينهما إلا إذا كان المثلث الأصلي متناظراً.