1. في مثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$. الارتفاعان الصادران من $B$ و $C$ يقطعان $[AC]$ و $[AB]$ في $H$ و $K$. المثلثان $BCH$ و $CBK$ يتقايسان لأن:
الإصلاح: المثلثان قائمان، وترهما المشترك هو القاعدة $[BC]$، وزوايا القاعدة في المثلث متقايس الضلعين متساوية.
2. ليكن $ABC$ مثلثاً قائماً في $A$. $M$ منتصف $[BC]$. إذا رسمنا المساقط العمودية لـ $M$ على $(AB)$ و $(AC)$ وهي $H$ و $K$. لمقارنة $MBH$ و $MCK$ نستخدم:
الإصلاح: بما أن $M$ منتصف الوتر، فالوتران متساويان. الزوايا متساوية لأن المساقط العمودية تخلق مستقيمات متوازية مع أضلاع المثلث القائم.
3. في دائرة مركزها $O$، إذا كان $[AB]$ قطراً و $M$ نقطة من الدائرة. المسقطان العموديان لـ $A$ و $B$ على مماس الدائرة في $M$ يكوّنان مثلثين قائمين يتقايسان بـ:
الإصلاح: الأوتار هي أنصاف أقطار $OM=OA=OB$. الزوايا تنتج عن تعامد المماس مع الشعاع وتوازي المساقط.
4. في مستطيل $ABCD$، المسقطان العموديان للرأسين $B$ و $D$ على القطر $[AC]$ يتقايسان بـ:
الإصلاح: الوتران هما أضلاع المستطيل المتقابلة (متساوية)، والزوايا متساوية بالتبادل الداخلي بسبب توازي الأضلاع.
5. "متممات نفس الزاوية": إذا كان $ABC$ مثلثاً قائماً في $A$، و $AH$ هو الارتفاع. المثلثان $ABH$ و $CAH$ يتقايسان بـ SAS إذا كان:
الإصلاح: في هذه الحالة يكون الوتران $AB$ و $AC$ متساويين، والزوايا الحادة $45^\circ$.