1. في دائرتين متماستين خارجياً في $T$، نرسم مماساً مشتركاً خارجياً يمسهما في $A$ و $B$. إذا كان $M$ منتصف $[AB]$، فإن المثلثين القائمين الناتجين عن إسقاط $M$ على المراكز يتقايسان بـ (وتر وزاوية) لأن:
الإصلاح: هذه وضعية "شبه منحرف قائم"، حيث المنصف العمودي للوتر يوفر الأوتار المتقايسة والزوايا المتناظرة.
2. ليكن $ABC$ مثلثاً حاد الزوايا، و $H$ مسقطه العمودي على $[BC]$. إذا رسمنا من $H$ عموديين على $(AB)$ و $(AC)$ يقطعانهما في $M$ و $N$. لمقارنة $AHM$ و $AHN$ نجد أنهما يتقايسان بـ (وتر وزاوية) إذا كان:
الإصلاح: الضلع $[AH]$ هو وتر مشترك للمثلثين القائمين الجدد. إذا كان منصفاً، تتوفر الزاوية الحادة المتقايسة.
3. في مربع $ABCD$، $M$ نقطة داخلية بحيث المثلث $MAB$ متقايس الأضلاع. المساقط العمودية لـ $M$ على $[AD]$ و $[BC]$ يكوّنان مثلثين قائمين يتقايسان بـ:
الإصلاح: $MA=MB$ (أضلاع مثلث متقايس الأضلاع). الزوايا هي $90 - 60 = 30$ درجة في الجهتين.
4. إذا كان لمثلثين قائمين "نفس الارتفاع" الصادر من الزاوية القائمة ونفس الزاوية الحادة، فهما متقايسان لأن:
الإصلاح: تقايس المثلثات الصغيرة الناتجة عن الارتفاع (بالحالة 1) يؤدي بالضرورة لتقايس المثلثات الكبيرة الأصلية.
5. "قاعدة الزوايا المتعامدة": إذا تعامد وتران في مثلثين قائمين وتساوى طولهما، فإن الزوايا الحادة تكون:
الإصلاح: الزوايا ذات الأضلاع المتعامدة مثنى بمثنى تكون متقايسة، وهذا مفتاح ذهبي في الحالات الصعبة للتقايس.