1. ما هما العنصران الكافيان لتقايس مثلثين قائمين في الحالة الأولى؟
الإصلاح: الحالة الأولى للمثلثات القائمة تعتمد على تساوي طول الوتر وقياس زاوية حادة واحدة.
2. في مثلث متقايس الضلعين \(ABC\) قمته \(A\)، الارتفاعان \(BH\) و \(CK\) يكوّنان مثلثين قائمين \(BHC\) و \(CKB\). هما متقايسان لأن:
الإصلاح: \( [BC] \) هو الوتر المشترك، والزوايا \( \widehat{HBC} \) و \( \widehat{KCB} \) متساوية لأن المثلث \( ABC \) متقايس الضلعين.
3. إذا علمنا أن وتري مثلثين قائمين متساويان، فماذا نحتاج أيضاً لإثبات التقايس حسب الحالة الأولى؟
الإصلاح: تساوي الأوتار لوحده لا يكفي، يجب إضافة زاوية حادة (الحالة 1) أو ضلع قائم (الحالة 2).
4. في دائرة مركزها \(O\)، المماسان المنطلقان من نقطة \(T\) يلمسانها في \(A\) و \(B\). المثلثان القائمان \(OTA\) و \(OTB\) متقايسان بـ:
الإصلاح: المماس يعامد الشعاع، \( [OT] \) وتر مشترك، والزاوية المركزية تُنصف بواسطة \( (OT) \).
5. لماذا تعتبر هذه الحالة (وتر وزاوية حادة) حالة خاصة من حالات التقايس العامة؟
الإصلاح: بما أننا نعرف الزاوية القائمة والزاوية الحادة، فنحن عملياً نعرف الزوايا الثلاث والوتر (ضلع)، فتطبق الحالة العامة الأولى.
6. في مثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذا كان \(M\) منتصف الوتر \([BC]\)، فإن المثلثين الناتجين عن الارتفاع من \(A\):
الإصلاح: لتقايس المثلثين القائمين الناتجين عن الارتفاع، يجب أن يكون الوتران \( AB \) و \( AC \) متساويين أصلاً.
7. إذا تقايس مثلثان قائمان حسب الحالة الأولى، فإن الضلعين القائمين:
الإصلاح: بمجرد ثبوت التقايس، تصبح كل الأضلاع والزوايا المتناظرة متقايسة.
8. المسافة من نقطة \(M\) على منصف زاوية إلى ضلعيها متساوية بسبب:
الإصلاح: المثلثان القائمان المتكونان من المسقطين العموديين يشتركان في الوتر (القطعة من الرأس إلى \( M \)) ولهما زوايا متساوية (المنصف).
9. "الوتر" في المثلث القائم هو الضلع الذي يقابل:
الإصلاح: الوتر هو دائماً أطول ضلع في المثلث القائم ويقابل الزاوية القائمة مباشرة.
10. إذا كانت الزوايا الحادة في مثلثين قائمين متقايسة، هل يتقايس المثلثان؟
الإصلاح: تقايس الزوايا فقط يعطي "تشابهاً"، أما "التقايس" فيتطلب طولاً حقيقياً كمعطى (الوتر).