تمارين متنوعة في تقايس المثلثات

دفواراتي
مثلث قائم وبناء عمودي
تمرين 1

أرسم مثلثًا \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) وغير متقايس الضلعين ثم عين نقطة \(D\) على \([BC]\) بحيث \(BD = BA\). المستقيم \(\Delta\) المار من \(D\) والعمودي على \((BC)\) يقطع \((AB)\) في \(E\).

  1. بين تقايس المثلثين \(ABC\) و \(BDE\).
  2. استنتج أن المثلث \(BCE\) متقايس الضلعين.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. للتقايس: لاحظ أن المثلثين \(ABC\) و \(BDE\) يشتركان في زاوية. لديك أيضًا زوايا قائمة وأضلاع متساوية من المعطيات. حاول تطبيق إحدى حالات تقايس المثلثات القائمة.

📝 الطريقة

1. مقارنة المثلثين \(ABC\) و \(BDE\):

  • المثلثان قائمان في \(A\) و \(D\) على التوالي. (\(\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ\))
  • لديهما زاوية مشتركة هي \(\angle ABC\).
  • من المعطيات، لديك \(BA=BD\).
  • طبق حالة التقايس **ASA (زاوية-ضلع-زاوية)**. بما أن زاويتين متساويتين، فالزاوية الثالثة متساوية أيضاً.

✅ الحل الكامل

1. نقارن المثلثين \(ABC\) و \(BDE\):
- لدينا \(\angle BAC = 90^\circ\) (معطى).
- لدينا \(\Delta \perp (BC)\) إذن \(\angle BDE = 90^\circ\).
- لدينا \(BA = BD\) (معطى).
- الزاوية \(\angle ABC\) مشتركة بين المثلثين.
إذن، المثلثان \(ABC\) و \(BDE\) متقايسان حسب حالة **ASA**.

2. بما أن المثلثين \(ABC\) و \(BDE\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة. الضلع \([BC]\) يقابل \(\angle BAC\) والضلع \([BE]\) يقابل \(\angle BDE\).
بما أن \(\angle BAC = \angle BDE = 90^\circ\)، فإن \(BC = BE\).
إذن، المثلث \(BCE\) **متقايس الضلعين في B**.

منصف زاوية وموسط عمودي
تمرين 2

أرسم مثلثًا \(ABC\) قائم الزاوية في \(C\) بحيث \(\angle BAC = 70^\circ\). ابن منصف الزاوية \(\angle BAC\) الذي يقطع \((BC)\) في \(D\). وابن المستقيم \(\Delta\) العمودي على \((AD)\) والمار من \(D\)، يقطع \((AC)\) في \(N\) و \((AB)\) في \(M\).

  1. أثبت تقايس المثلثين \(AMD\) و \(AND\).
  2. استنتج أن \((AD)\) هو الموسط العمودي لـ \([MN]\).
  3. أوجد \(\angle ANM\) و \(\angle DMB\).
  4. هل أن المثلثين \(BMD\) و \(CND\) متقايسان. علل جوابك.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. للتقايس: انظر إلى المثلثين \(AMD\) و \(AND\). ما هي العلاقة بينهما وبين المستقيم \((AD)\)؟ لديك زوايا قائمة وضلع مشترك ومنصف زاوية.

3. للزوايا: استخدم مجموع زوايا المثلث. أنت تعرف \(\angle NAD\) (نصف 70°) و \(\angle ADN = 90^\circ\).

📝 الطريقة

1. تقايس \(AMD\) و \(AND\):

  • \(\angle MAD = \angle NAD\) (لأن (AD) منصف).
  • \(\angle ADM = \angle ADN = 90^\circ\) (لأن \(\Delta \perp (AD)\)).
  • الضلع \([AD]\) مشترك بين المثلثين.
  • طبق حالة التقايس **ASA**.

2. الموسط العمودي:

  • من التقايس، استنتج أن \(D\) هي منتصف \([MN]\).
  • من المعطيات، \((AD) \perp (MN)\).
  • إذن \((AD)\) هو الموسط العمودي.

✅ الحل الكامل

1. في المثلثين \(AMD\) و \(AND\):
- \(\angle MAD = \angle NAD\) (لأن (AD) منصف).
- \([AD]\) ضلع مشترك.
- \(\angle ADN = \angle ADM = 90^\circ\).
إذن المثلثان \(AMD\) و \(AND\) متقايسان حسب حالة **ASA**.

2. من التقايس نستنتج أن \(MD=ND\) و \(AM=AN\). بما أن \((AD) \perp (MN)\) و \(D\) منتصف \([MN]\), فإن **\((AD)\) هو الموسط العمودي لـ \([MN]\)**.

3.
- في المثلث القائم \(ADN\): \(\angle NAD = 70/2 = 35^\circ\). إذن \(\angle AND = 180 - 90 - 35 = 55^\circ\). **\(\angle ANM = 55^\circ\)**.
- في المثلث الكبير \(ABC\): \(\angle B = 180 - 90 - 70 = 20^\circ\).
- من (1), \(\angle AMD = \angle AND = 55^\circ\). الزاوية \(\angle DMB\) مكملة لـ \(\angle AMD\), إذن **\(\angle DMB = 180 - 55 = 125^\circ\)**.

4. للمقارنة بين \(BMD\) و \(CND\), ليس لدينا معلومات كافية للمقارنة. إذن المثلثان **ليسا بالضرورة متقايسين**.

زاوية حادة ومستقيمات متقاطعة
تمرين 3

أرسم زاوية حادة \(x\hat{O}y\). وعين على \([Ox)\) نقطة \(A\) وعلى \([Oy)\) نقطة \(B\) بحيث \(OA = OB\). ثم أرسم المستقيم العمودي على \((Ox)\) المار من \(A\) ويقطع \((Oy)\) في \(C\)، والمستقيم العمودي على \((Oy)\) المار من \(B\) ويقطع \((Ox)\) في \(D\).

  1. بين تقايس المثلثين \(OAC\) و \(OBD\).
  2. المستقيمان \((AC)\) و \((BD)\) يتقاطعان في \(M\). بين تقايس المثلثين \(AMD\) و \(BMC\).
  3. بين أن \([OM)\) هو منصف الزاوية \(x\hat{O}y\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. للتقايس: انظر إلى المثلثين الكبيرين \(OAC\) و \(OBD\). لديك ضلعان متساويان \(OA=OB\) وزاوية مشتركة. ابحث عن زاوية أخرى متساوية (الزوايا القائمة).

📝 الطريقة

1. تقايس \(OAC\) و \(OBD\):

  • \(\angle OAC\) و \(\angle OBD\) قائمان (هذا غير صحيح، القائمتان هما \(\angle OAC'\) و \(\angle OBD'\)). الصحيح هو \(\angle ODB\) و \(\angle OCA\).
  • \(OA = OB\) (معطى).
  • الزاوية \(\angle xOy\) مشتركة.
  • طبق حالة **ASA**.

✅ الحل الكامل

1. في المثلثين القائمين \(OAC\) و \(OBD\):
- \(OA=OB\) (معطى).
- \(\angle AOC = \angle BOD\) (زاوية مشتركة).
- \(\angle OAC = 90^\circ\) و \(\angle OBD = 90^\circ\) (معطى).
إذن المثلثان \(OAC\) و \(OBD\) متقايسان حسب حالة **ASA**.

2. من التقايس (1)، نستنتج \(OC=OD\) و \(\angle OCA = \angle ODB\).
لدينا \(AD = OD-OA\) و \(BC = OC-OB\). بما أن \(OD=OC\) و \(OA=OB\)، فإن \(AD=BC\).
في المثلثين \(AMD\) و \(BMC\):
- \(AD=BC\).
- \(\angle ODB = \angle OCA\).
- \(\angle AMD = \angle BMC\) (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان \(AMD\) و \(BMC\) متقايسان حسب حالة **AAS**.

3. من التقايس (2)، نستنتج \(MA=MB\).
نقارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):
- \(OA=OB\), \(MA=MB\), \([OM]\) ضلع مشترك.
إذن المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان حسب حالة **SSS**.
ومنه، **\([OM)\) هو منصف الزاوية \(x\hat{O}y\) **.

مثلث قائم وتناظر مركزي
تمرين 4

أرسم مثلثًا \(OAB\) قائم الزاوية في \(A\).

  1. ابن النقطة \(C\) نظيرة النقطة \(B\) بالنسبة إلى \(O\). ثم أرسم المستقيم المار من \(C\) والعمودي على \((OA)\) في النقطة \(D\).
  2. بين تقايس المثلثين \(OAB\) و \(OCD\).
  3. استنتج أن \(O\) منتصف \([AD]\).
  4. بين تقايس المثلثين \(OAC\) و \(OBD\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. التناظر المركزي: ماذا يعني "C نظيرة B بالنسبة لـ O"؟ (O هي منتصف...).

2. للتقايس: لديك مثلثان قائمان. استخدم خصائص التناظر المركزي لإيجاد عناصر متساوية (أضلاع، زوايا متقابلة بالرأس...).

📝 الطريقة

2. تقايس \(OAB\) و \(OCD\):

  • \(C\) نظيرة \(B\) بالنسبة لـ \(O\), إذن \(OB=OC\).
  • \(\angle OAB = 90^\circ\) و \(\angle ODC = 90^\circ\).
  • \(\angle AOB = \angle COD\) (متقابلتان بالرأس).
  • طبق حالة **AAS**.

✅ الحل الكامل

2. نقارن المثلثين القائمين \(OAB\) و \(OCD\):
- \(OB=OC\) (O منتصف [BC]).
- \(\angle AOB = \angle COD\) (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان \(OAB\) و \(OCD\) متقايسان حسب حالة **AAS**.

3. من التقايس (2)، نستنتج أن \(OA = OD\). بما أن \(O \in [AD]\), فإن **\(O\) هي منتصف \([AD]\)**.

4. نقارن المثلثين \(OAC\) و \(OBD\):
- \(OA=OD\) (من 3).
- \(OC=OB\) (من 1).
- \(\angle AOC = \angle DOB\) (متقابلتان بالرأس).
إذن المثلثان \(OAC\) و \(OBD\) متقايسان حسب حالة **SAS**.

دائرة ومنصف زاوية
تمرين 5

أرسم دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) و \([AB]\) حبل لا يمر من \(O\). منصف الزاوية \(\angle AOB\) يقطع \(\mathcal{C}\) في \(M\).

  1. بين تقايس المثلثين \(OAM\) و \(OBM\).
  2. استنتج أن \(MA = MB\) و \((MO)\) منصف الزاوية \(\angle AMB\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

1. للتقايس: ما هي طبيعة الأضلاع \([OA]\), \([OB]\) بالنسبة للدائرة؟ استخدم هذه الخاصية مع حقيقة أن \((OM)\) منصف زاوية.

📝 الطريقة

1. تقايس \(OAM\) و \(OBM\):

  • \(OA = OB\) (شعاعان في الدائرة).
  • \(\angle AOM = \angle BOM\) (لأن (OM) منصف).
  • الضلع \([OM]\) مشترك.
  • طبق حالة **SAS**.

✅ الحل الكامل

1. نقارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):
- \(OA = OB\) (شعاعان).
- \(\angle AOM = \angle BOM\) (منصف).
- \([OM]\) ضلع مشترك.
إذن المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان حسب حالة **SAS**.

2. بما أن المثلثين متقايسين:
- فإن **\(MA = MB\) **.
- وإن \(\angle OMA = \angle OMB\), إذن **\((MO)\) هو منصف الزاوية \(\angle AMB\) **.