سلسلة تمارين في الهندسة

تقايس المثلثات - السلسلة رقم 2

8
تمرين عدد 8

لتكن دائرة C مركزها O و شعاعها 3cm و لتكن A و B نقطتان من الدائرة حيث AB=4cm. المماسان للدائرة في A و B يتقاطعان في النقطة H.

  1. بيّن أن HA=HB و استنتج أن (OH) هو الموسط العمودي لـ [AB].
  2. بيّن أن (HO] هو منصف الزاوية AHB.

تصحيح التمرين 8

1) (AH) مماس لـ C في A إذن (OA)⊥(AH) ومنه OAH قائم في A.
(BH) مماس لـ C في B إذن (OB)⊥(BH) ومنه OBH قائم في B.

في المثلثين القائمين OAH, OBH لنا:

  • [OH] وتر مشترك.
  • OA = OB (لأن A و B نقطتان من الدائرة C التي مركزها O).

إذن OAH و OBH متقايسان حسب الحالة الخاصة لتقايس المثلثات القائمة. إذن HA = HB. بما أن H متساوية البعد عن طرفي القطعة [AB] و O متساوية البعد عن طرفي القطعة [AB]، فإن (OH) هو الموسط العمودي لـ [AB].

2) OAH و OBH متقايسان حيث AĤO نظيرة BĤO إذن AĤO = BĤO.
AĤO و BĤO متجاورتان و متقايستان إذن [HO) منصف الزاوية AHB.

9
تمرين عدد 9

يعتبر الشكل التالي حيث ABC مثلث قائم في B و DA=DC.

  1. عين من [AD] النقطة H حيث DH=DB و H لا تنتمي إلى [AD].
  2. أ) قارن المثلثين ADB و CDH. ب) استنتج أن (AH)⊥(CH).
  3. أ) المستقيمان (CH) و (BA) يتقاطعان في النقطة E. قارن المثلثين EDB و EDH. ب) استنتج طبيعة المثلث EAC.

تصحيح التمرين 9

2) أ- في المثلثين ADB, CDH لنا: AD=CD, BD=HD, AĎB=HĎC (زاويتان متقابلتان بالرأس). إذن ADB و CDH متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.

ب- ABD و CDH متقايسان حيث CĤD نظيرة AB̂D إذن AB̂D = CĤD = 90° ومنه (AH)⊥(CH).

3) أ- EDB قائم في B و EDH قائم في H. في المثلثين القائمين EDB و EDH لنا: [ED] وتر مشترك و BD=HD. إذن EDB و EDH متقايسان حسب الحالة الخاصة لتقايس المثلثات القائمة.

ب- من تقايس EDB و EDH نستنتج أن BE=HE (1). ومن تقايس ABD و CDH نستنتج أن AB=CH (2). لدينا AE = AB+BE و CE = CH+HE. من (1) و (2) نستنتج أن AE = CE. وبالتالي EAC مثلث متقايس الضلعين في E.

10
تمرين عدد 10

أرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في C بحيث BÂC = 70°.

  1. ابن منصف الزاوية BÂC الذي يقطع (BC) في D. المستقيم العمودي على (AD) والمار من D يقطع (AC) في N و (AB) في M.
  2. بيّن أن المثلثين AMD و AND متقايسان.
  3. استنتج أن (AD) هو الموسط العمودي لـ [MN].
  4. أوجد DMB و ANM.

تصحيح التمرين 10

2) في المثلثين AMD و AND لدينا: [AD] ضلع مشترك، AD̂M = AD̂N = 90°، MÂD = NÂD = 35° (لأن (AD] منصف). إذن المثلثان AND و AMD متقايسان وينتج أن: AM=AN, DM=DN.

3) بما أن AM=AN و DM=DN فإن A و D تنتميان للموسط العمودي لـ [MN]. إذن (AD) هو الموسط العمودي لـ [MN].

4) AMN مثلث متقايس الضلعين في A إذن AN̂M = (180° - 70°)/2 = 55°.
DMB و AMN زاويتان متجاورتان ومتكاملتان إذن DM̂B = 180° - AN̂M = 180° - 55° = 125°.

11
تمرين عدد 11

أرسم مربعا ABCD وعين النقط [M∈[AB و [N∈[AD و [P∈[BC بحيث PC=NA=MB.

  1. بين أن المثلثين AMN و MBP متقايسان.
  2. استنتج أن المثلث MNP متقايس الضلعين وقائم الزاوية في M.
  3. أ) قارن المثلثين OBP و OND. ب) أثبت أن (MO)⊥(NP). ج) بين أن O منتصف [AC].

تصحيح التمرين 11

1) لدينا AM = AB - MB و BP = BC - PC. بما أن AB=BC (مربع) و MB=PC (معطى)، فإن AM=BP. في المثلثين AMN و MBP لدينا: AN=MB (معطى)، AM=BP (تم إثباته)، MÂN=MB̂P=90° (مربع). إذن المثلثان متقايسان.

2) من التقايس نستنتج MN=MP، إذن MNP متقايس الضلعين في M.

3) أ- في المثلثين OBP و OND لدينا: OB=OD (قطرا المربع يتقاطعان في منتصفهما)، BP=ND (يمكن استنتاجه من تقايسات سابقة)، OB̂P=OD̂N (زاويتان متبادلتان داخليا). إذن المثلثان متقايسان.

ب- في المثلث MNP المتقايس الضلعين في M، O منتصف القاعدة [NP] (يمكن إثباته)، إذن (MO) هو الموسط العمودي للقاعدة [NP] ومنه (MO)⊥(NP).

ج- O هو مركز المربع، فهو منتصف قطريه [AC] و [BD].

سلسلة تمارين الهندسة - تقايس المثلثات

تصميم أنيق ومتجاوب