تمرين في الهندسة

دفواراتي
دائرة، منصفات ومماسات
1

لتكن دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\). \(A\) و \(B\) نقطتان من \((\mathcal{C})\) غير متقابلتين قطريا. منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\) يقطع \((\mathcal{C})\) في \(M\).

  1. أ) بيّن أن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان.

    ب) إستنتج أن \((OM)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\) وبالتالي \((OM) \perp (AB)\).

  2. المماس \((\Delta)\) للدائرة \((\mathcal{C})\) في \(A\) يقطع المماس \((\Delta')\) للدائرة \((\mathcal{C})\) في \(B\) في النقطة \(T\).

    أ) بيّن تقايس المثلثين \(OAT\) و \(OBT\).

    ب) إستنتج أن \(O\) و \(M\) و \(T\) على إستقامة واحدة.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1أ: لمقارنة المثلثين \(OAM\) و \(OBM\)، تذكر أن \(A, B, M\) كلها نقاط على الدائرة. ما العلاقة بين أطوال القطع التي تربط المركز بنقاط الدائرة؟ استخدم حالة تقايس "ضلع-زاوية-ضلع".

للسؤال 1ب: الموسط العمودي لقطعة هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفيها. من تقايس السؤال الأول، ماذا تستنتج بخصوص \(MA\) و \(MB\)؟ وماذا تعرف عن \(OA\) و \(OB\)؟

للسؤال 2أ: المماس للدائرة يكون عمودياً على الشعاع في نقطة التماس. هذا يعطيك مثلثين قائمين. قارن بينهما باستخدام حالات تقايس المثلثات القائمة.

للسؤال 2ب: لإثبات أن النقاط على استقامة واحدة، أثبت أنها تنتمي لنفس المستقيم المميز. ما هو المستقيم الذي تنتمي إليه \(O\) و \(M\)؟ وما هو المستقيم الذي تنتمي إليه \(O\) و \(T\)؟

📝 الطريقة

1أ) تقايس المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):

نطبق حالة التقايس "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(OA = OB\) (كلاهما شعاع في الدائرة \((\mathcal{C})\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (لأن \([OM)\) منصف للزاوية \(\widehat{AOB}\)).
  • الضلع: \([OM]\) هو ضلع مشترك للمثلثين.

بتحقق الشروط الثلاثة، نستنتج أن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان.

1ب) إستنتاج أن \((OM)\) هو الموسط العمودي:

  • لدينا \(OA = OB\) (شعاعان)، إذن النقطة \(O\) متساوية البعد عن \(A\) و \(B\).
  • من تقايس المثلثين في السؤال 1أ، نستنتج أن الضلعين المتناظرين \(MA\) و \(MB\) متقايسان. إذن النقطة \(M\) متساوية البعد عن \(A\) و \(B\).

بما أن النقطتين المختلفتين \(O\) و \(M\) متساويتا البعد عن طرفي القطعة \([AB]\)، فإنهما تنتميان إلى الموسط العمودي لهذه القطعة. إذن المستقيم \((OM)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\).

2أ) تقايس المثلثين \(OAT\) و \(OBT\):

بما أن \((\Delta)\) و \((\Delta')\) مماسان للدائرة في \(A\) و \(B\) على التوالي، فإنهما يعامدان الشعاعين في نقطتي التماس. إذن \((TA) \perp (OA)\) و \((TB) \perp (OB)\). هذا يعني أن المثلثين \(OAT\) و \(OBT\) قائمان في \(A\) و \(B\) على التوالي.

نقارن بين هذين المثلثين القائمين:

  • الوتر: \([OT]\) هو وتر مشترك.
  • ضلع قائم: \(OA = OB\) (شعاعان).

إذن المثلثان \(OAT\) و \(OBT\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).

2ب) إستنتاج أن النقاط على إستقامة واحدة:

  • من السؤال 1ب، أثبتنا أن \((OM)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\).
  • من تقايس المثلثين في السؤال 2أ، نستنتج أن الضلعين المتناظرين \(TA\) و \(TB\) متقايسان. إذن النقطة \(T\) متساوية البعد عن \(A\) و \(B\)، وبالتالي \(T\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([AB]\).

بما أن \(T\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([AB]\) الذي هو المستقيم \((OM)\)، فإن النقاط \(O\), \(M\), و \(T\) تقع على نفس المستقيم.

✅ الحل الكامل

1أ) بيّن أن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان:

نقارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع":

  • \(OA = OB\) (لأنهما شعاعان في نفس الدائرة \((\mathcal{C})\)).
  • \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (لأن \([OM)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\) حسب المعطيات).
  • \([OM]\) هو ضلع مشترك للمثلثين.

النتيجة: المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان.

1ب) إستنتج أن \((OM)\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\):

الموسط العمودي لقطعة مستقيمة هو المستقيم الذي يضم كل النقاط المتساوية البعد عن طرفي هذه القطعة.

  • النقطة \(O\): لدينا \(OA = OB\) (شعاعان)، إذن \(O\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([AB]\).
  • النقطة \(M\): من تقايس المثلثين \(OAM\) و \(OBM\)، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، ومنه \(MA = MB\). إذن \(M\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([AB]\).

بما أن النقطتين المختلفتين \(O\) و \(M\) تنتميان للموسط العمودي للقطعة \([AB]\)، فإن المستقيم المار منهما، أي \((OM)\)، هو الموسط العمودي لـ \([AB]\). وكنتيجة لذلك، \((OM) \perp (AB)\).

2أ) بيّن تقايس المثلثين \(OAT\) و \(OBT\):

خاصية المماس: المماس لدائرة يكون عموديا على الشعاع في نقطة التماس.
إذن \((TA) \perp (OA)\) و \((TB) \perp (OB)\).
وهذا يعني أن المثلثين \(OAT\) و \(OBT\) قائمان في \(A\) و \(B\) على التوالي.
نقارن بين هذين المثلثين القائمين:

  • الوتر: الضلع \([OT]\) هو وتر مشترك للمثلثين.
  • ضلع قائم: \(OA = OB\) (شعاعان في نفس الدائرة).

النتيجة: المثلثان \(OAT\) و \(OBT\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).

2ب) إستنتج أن \(O\) و \(M\) و \(T\) على إستقامة واحدة:

  • من السؤال 1ب، أثبتنا أن المستقيم \((OM)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([AB]\).
  • من تقايس المثلثين \(OAT\) و \(OBT\) في السؤال 2أ، نستنتج أن الضلعين المتناظرين \(TA\) و \(TB\) متقايسان.

بما أن \(TA = TB\)، فإن النقطة \(T\) متساوية البعد عن \(A\) و \(B\)، وبالتالي فإن النقطة \(T\) تنتمي إلى الموسط العمودي للقطعة \([AB]\).
بما أن \(T\) تنتمي للمستقيم \((OM)\) (الذي هو الموسط العمودي)، فإن النقاط الثلاث \(O\), \(M\), و \(T\) تقع على نفس المستقيم (أي على استقامة واحدة).