المثلث والمركز القائم

دفواراتي
المثلث المتقايس الضلعين والارتفاعات
تمرين 8

نعتبر المثلث ABC المتقايس الضلعين قمته الرئيسية A.

لتكن [CF] الارتفاع الصادر من C و [BE] الارتفاع الصادر من B. (CF) و (BE) يتقاطعان في نقطة H.

  1. ماذا تمثل H بالنسبة للمثلث ABC؟

  2. أ) بيّن تقايس المثلثين CBE و CBF.

    ب) إستنتج أن BE = CF.

  3. قارن المثلثين AHF و AHE.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشرات هندسية مهمة

تذكر خصائص المثلث المتقايس الضلعين:

  • AB = AC (الضلعان المتقايسان)
  • ∠ABC = ∠ACB (زوايا القاعدة متساوية)
  • المثلث له محور تناظر يمر بالقمة الرئيسية A ومنتصف القاعدة

تعريف المركز القائم (Orthocentre):

  • نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث الثلاثة
  • في المثلث المتقايس الضلعين، يقع على محور التناظر

للسؤال الثاني:

فكر في المثلثات القائمة CBE و CBF:

  • لديهما وتر مشترك [BC]
  • ابحث عن زوايا متساوية باستخدام خصائص المثلث المتقايس الضلعين

للسؤال الثالث: استخدم النتيجة من السؤال الثاني وخصائص التناظر

📝 الطريقة المنهجية

السؤال الأول - تحديد طبيعة النقطة H:

خطوة 1: تعريف النقطة H

H = تقاطع الارتفاعين [BE] و [CF]

خطوة 2: استخدام تعريف المركز القائم

المركز القائم = نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث

إذن H هي المركز القائم للمثلث ABC

السؤال الثاني - استراتيجية الإثبات:

خطوة أ: مقارنة المثلثين القائمين CBE و CBF

• كلاهما مثلث قائم (زاوية قائمة عند E و F)

• وتر مشترك [BC]

• ابحث عن زوايا متساوية من خصائص المثلث المتقايس الضلعين

خطوة ب: الاستنتاج المباشر

من تقايس المثلثين → العناصر المتناظرة متساوية

السؤال الثالث - مقارنة المثلثين AHF و AHE:

• استخدام النتائج من السؤال الثاني

• تطبيق خصائص التناظر في المثلث المتقايس الضلعين

• البحث عن عناصر متساوية لتطبيق حالات التقايس

✅ الحل الكامل والمفصل

1) تحديد طبيعة النقطة H:

النقطة H هي نقطة تقاطع الارتفاعين [BE] و [CF] في المثلث ABC.

بتعريف المركز القائم:

H هي المركز القائم للمثلث ABC ✓

لأنها تنتج عن تقاطع ارتفاعين من المثلث.

2أ) إثبات تقايس المثلثين CBE و CBF:

المثلثان CBE و CBF هما مثلثان قائمان لأن:

  • [CF] ارتفاع المثلث ABC الصادر من C ← ∠CFA = 90°
  • [BE] ارتفاع المثلث ABC الصادر من B ← ∠BEA = 90°

في المثلثين القائمين CBE و CBF:

  • [BC] وتر مشترك
  • ∠EBC = ∠FCB لأن ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A
  • إذن ∠ABC = ∠ACB (زوايا القاعدة متساوية)

حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات القائمة (وتر + زاوية حادة):

المثلثان CBE و CBF متقايسان ✓

ملاحظة: يمكن أيضاً إثبات التقايس باستخدام الحالة الأولى لتقايس المثلثات العامة (ض.ز.ض).

2ب) الاستنتاج - BE = CF:

بما أن المثلثين CBE و CBF متقايسان، فإن العناصر المتناظرة متقايسة مثنى مثنى.

ومنه: CF = BE ✓

3) مقارنة المثلثين AHF و AHE:

في المثلثين القائمين AHE و AHF:

الوتر المشترك:

• [AH] وتر مشترك

الأضلاع المتساوية:

• AF = AE لأن:

- E ∈ [AC] و F ∈ [AB]

- AE = AC - EC

- AF = AB - FB

- من تقايس المثلثين CBE و CBF: EC = FB

- ومن خاصية المثلث المتقايس الضلعين: AB = AC

- إذن AE = AC - EC = AB - FB = AF

حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات القائمة (وتر + ضلع قائم):

المثلثان AHE و AHF متقايسان ✓

خلاصة مهمة: هذا التمرين يوضح الترابط بين خصائص المثلث المتقايس الضلعين والمركز القائم وتقايس المثلثات القائمة.