Δ يقطع (BC) في D. عيّن M من [AD] بحيث AM = 3cm.
أ) بيّن أن المثلثين AMB و AMC متقايسان.
ب) إستنتج أن (AD] هو منصف BÂC.
لتكن H المسقط العمودي لـM على (AB) و K المسقط العمودي لـM على (AC).
أ) بيّن أن AMH و AMK متقايسان.
ب) إستنتج أن (HK) ⊥ Δ.
1) أنظر الرسم.
2) أ- في المثلثين AMB و AMC لدينا:
إذن AMB و AMC متقايسان حسب الحالة الثالثة لتقايس المثلثات العامة.
ينتج عن ذلك: AMB = AMC, BÂM = CÂM, ABM = ACM.
ب- بما أن BÂM = CÂM فإنهما متقايسان و متجاورتان. أي أن (AM] هو منصف CÂB و D نقطة من (AM) و منه (AD] منصف CÂB.
3) أ- AMH قائم في H لأن H المسقط العمودي لـ M على (AB) و AMK قائم في K لأن K المسقط العمودي لـ M على (AC).
في المثلثين القائمين AMH و AMK لدينا:
و منه AMH و AMK مثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات القائمة.
ملاحظة: يمكن تبيين تقايس المثلثين AMH و AMK باستعمال الحالة الثانية لتقايس المثلثات القائمة.
ب- لنا: AK = AH و MK = MH عناصر نظيرة في المثلثين المتقايسين AMH و AMK إذن (AM) هو الموسط العمودي لـ [HK] أي أن (HK) ⊥ (AM) و A و M نقطتان من Δ إذن (HK) ⊥ Δ.
4) لنا (BC) //' Δ و (BC) ⊥ Δ إذن Δ' ⊥ Δ.
و Δ' ⊥ Δ إذن (NP) ⊥ Δ.
و منه (NP) ⊥ (AM).
و بهذا في المثلثين AMP و AMN لدينا:
إذن AMP و AMN متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات العامة ينتج عن ذلك تقايس العناصر النظيرة مثنى مثنى إذن MN = MP وبما أن M ∈ (PN) فإن M منتصف [PN].