تمرين في الهندسة

دفواراتي
مستطيل ومثلثات
1

ليكن \(ABCD\) مستطيل بحيث \(AB = 4\) و \(BC = 2\) و \(I\) منتصف \([AB]\).

  1. أ) أثبت تقايس المثلثين \(IBC\) و \(IAD\).

    ب) إستنتج أن المثلث \(ICD\) متقايس الضلعين وقائم في \(I\).

  2. لتكن \(E\) نقطة من \((BC]\) بحيث \(BD = BE\). المستقيم المار من \(B\) والعمودي على \((DE)\) يقطعه في \(J\).

    قارن المثلثين \(BJE\) و \(BJD\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1أ: للمقارنة بين المثلثين \(IBC\) و \(IAD\)، تذكر خصائص المستطيل (الأضلاع المتقابلة، الزوايا). استخدم حالة التقايس "ضلع-زاوية-ضلع".

للسؤال 1ب: من التقايس الأول، تستنتج أن \(IC=ID\)، وهذا يثبت أنه متقايس الضلعين. لإثبات أنه قائم، حاول أن تبين أن مجموع الزاويتين \(\widehat{AID}\) و \(\widehat{BIC}\) يساوي 90 درجة. ما هي طبيعة المثلثين \(ADI\) و \(BCI\)؟

للسؤال 2: لديك مثلثان قائمان (\(BJE\) و \(BJD\)). قارن بين وتريهما وأحد الأضلاع المشتركة بينهما.

📝 الطريقة

1أ) تقايس المثلثين \(IBC\) و \(IAD\):
نقارن المثلثين \(IAD\) و \(IBC\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(AD = BC\) (ضلعان متقابلان في مستطيل).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{DAI} = \widehat{CBI} = 90^\circ\) (زاويتان في مستطيل).
  • الضلع: \(IA = IB\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
إذن المثلثان \(IAD\) و \(IBC\) متقايسان.

1ب) استنتاج طبيعة المثلث \(ICD\):
متقايس الضلعين: من تقايس السؤال 1أ، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، ومنه \(ID = IC\). إذن المثلث \(ICD\) متقايس الضلعين في \(I\).
قائم: من نفس التقايس، نستنتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة: \(\widehat{ADI} = \widehat{BCI}\) و \(\widehat{AID} = \widehat{BIC}\).
الزاوية \(\widehat{AIB}\) هي زاوية مستقيمة تساوي 180 درجة؟ لا، هذا خطأ، A, I, B على استقامة واحدة.
لننظر إلى الزوايا حول النقطة I. لدينا \(\widehat{CID} = \widehat{AIB} - (\widehat{AID} + \widehat{BIC})\). هذا لا يساعد.
الطريقة الصحيحة: في المثلث القائم \(ADI\)، \(\widehat{ADI} + \widehat{AID} = 90^\circ\).
وفي المثلث القائم \(BCI\)، \(\widehat{BCI} + \widehat{BIC} = 90^\circ\).
لدينا \(\widehat{DCI} = \widehat{DCB} - \widehat{ICB} = 90^\circ - \widehat{ICB}\). بما أن \(\widehat{ADI} = \widehat{BCI}\)، فإن \(\widehat{DCI} = 90^\circ - \widehat{ADI}\).
ولكن \(\widehat{ADI} + \widehat{AID} = 90^\circ\)، إذن \(\widehat{DCI} = \widehat{AID}\).
ولدينا \(\widehat{AID} = \widehat{BIC}\). إذن \(\widehat{DCI} = \widehat{BIC}\). هذا يؤدي إلى توازي، وهو غير صحيح.
الطريقة الأكثر بساطة: الزاوية \(\widehat{AIB}\) هي زاوية مستقيمة (180°). لدينا \(\widehat{DIC} = 180^\circ - (\widehat{AID} + \widehat{BIC})\).
بما أن \(AD = IA = 2\)، فالمثلث \(ADI\) متقايس الضلعين وقائم في \(A\)؛ وزاويتا قاعدته متساويتان ومجموعهما \(90^\circ\)، إذن \(\widehat{AID} = 45^\circ\). وبالمثل \(\widehat{BIC} = 45^\circ\)، ومنه \(\widehat{DIC} = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\).

2) مقارنة المثلثين \(BJE\) و \(BJD\):
لدينا \((BJ) \perp (DE)\)، إذن المثلثان \(BJE\) و \(BJD\) قائمان في \(J\).
نقارن بينهما:

  • الوتر: لدينا \(BE = BD\) (معطى).
  • ضلع مشترك: \([BJ]\) هو ضلع مشترك للمثلثين.
إذن المثلثان \(BJE\) و \(BJD\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).

✅ الحل الكامل

1أ) أثبت تقايس المثلثين \(IBC\) و \(IAD\):

نقارن المثلثين القائمين \(IAD\) (في A) و \(IBC\) (في B) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(IA = IB\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{DAI} = \widehat{CBI} = 90^\circ\) (لأن \(ABCD\) مستطيل).
  • الضلع: \(AD = BC\) (ضلعان متقابلان في مستطيل).

إذن، المثلثان \(IAD\) و \(IBC\) متقايسان.

1ب) إستنتج أن المثلث \(ICD\) متقايس الضلعين وقائم في \(I\):

  • متقايس الضلعين: من تقايس المثلثين \(IAD\) و \(IBC\)، نستنتج أن أضلاعهما المتناظرة متقايسة. إذن، \(ID = IC\). وهذا يعني أن المثلث \(ICD\) متقايس الضلعين في \(I\).
  • قائم: من التقايس السابق، نستنتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة، أي \(\widehat{AID} = \widehat{BIC}\).
    النقاط \(A, I, B\) على استقامة واحدة، إذن الزاوية \(\widehat{AIB}\) مستقيمة وقياسها 180 درجة.
    \(\widehat{AIB} = \widehat{AID} + \widehat{DIC} + \widehat{BIC} = 180^\circ\).
    لنعوض \(\widehat{BIC}\) بـ \(\widehat{AID}\):
    \(2 \times \widehat{AID} + \widehat{DIC} = 180^\circ\).
    في المثلث القائم \(IAD\)، لدينا: \(\widehat{IAD} + \widehat{ADI} + \widehat{AID} = 180^\circ \Rightarrow 90^\circ + \widehat{ADI} + \widehat{AID} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{ADI} + \widehat{AID} = 90^\circ\).
    كذلك، من التقايس لدينا \(\widehat{ADI} = \widehat{BCI}\).
    في المثلث القائم \(IDC\)، لدينا \(\widehat{ICD} + \widehat{IDC} + \widehat{CID} = 180^\circ\).

    الاستنتاج المباشر (مقبول في هذا المستوى): المثلثان \(IAD\) و \(IBC\) هما مثلثان قائمان ومتقايسا الضلعين (لأن \(IA=AD=2\) و \(IB=BC=2\)). إذن \(\widehat{AID} = \widehat{BIC} = 45^\circ\).
    الزاوية \(\widehat{DIC} = 180^\circ - (\widehat{AID} + \widehat{BIC}) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\).
    إذن المثلث \(ICD\) قائم في \(I\).

2) قارن المثلثين \(BJE\) و \(BJD\):

لدينا \((BJ) \perp (DE)\)، إذن المثلثان \(BJE\) و \(BJD\) قائمان في \(J\).
نقارن بين هذين المثلثين القائمين:

  • الوتر: لدينا \(BE = BD\) (حسب المعطيات).
  • ضلع قائم: \([BJ]\) هو ضلع قائم مشترك للمثلثين.

إذن، المثلثان \(BJE\) و \(BJD\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).