لدينا \(ABCD\) شبه منحرف متقايس الضلعين قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\). \(E\) و \(F\) المساقط العمودية على التوالي لـ \(A\) و \(B\) على \((CD)\).
أ) بيّن أنّ \(AE = BF\).
ب) استنتج أنّ المثلثين \(BFC\) و \(AED\) متقايسان.
ج) بيّن أنّ \(\widehat{ADE} = \widehat{BCF}\).
للسؤال 1أ: البعد بين مستقيمين متوازيين ثابت. ما هي طبيعة الرباعي \(ABFE\)؟
للسؤال 1ب: لديك مثلثان قائمان (\(AED\) و \(BFC\)). قارن بين وتريهما وأحد الأضلاع القائمة باستخدام نتيجة السؤال 1أ.
للسؤال 2: لمقارنة المثلثين \(BCD\) و \(ACD\)، ابحث عن أضلاع متقايسة. لديك ضلع مشترك، وضلعان متقايسان من تعريف شبه المنحرف، والقطران \([AC]\) و \([BD]\) لهما خاصية مميزة في شبه المنحرف المتقايس الضلعين.
للسؤال 3: استخدم نتيجة تقايس المثلثين في السؤال 2 لإيجاد زوايا متقايسة في المثلث \(ICD\).
للسؤال 4: المستقيم \((IJ)\) عمودي على \((CD)\). استخدم هذه الخاصية مع نتيجة السؤال 3 لمقارنة المثلثين القائمين \(ICJ\) و \(IDJ\).
1أ) إثبات أن \(AE = BF\):
بما أن \(ABCD\) شبه منحرف، فإن قاعدتيه متوازيتان: \((AB) // (CD)\).
لدينا \(E\) و \(F\) مسقطان عموديان، إذن \((AE) \perp (CD)\) و \((BF) \perp (CD)\).
مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان، إذن \((AE) // (BF)\).
الرباعي \(ABFE\) له ضلعان متقابلان متوازيان \((AB)\) و \((EF)\) وضلعان متقابلان متوازيان آخران \((AE)\) و \((BF)\). فهو متوازي أضلاع.
وبما أن إحدى زواياه قائمة (مثل \(\widehat{AEF}=90^\circ\))، فهو مستطيل. إذن أضلاعه المتقابلة متقايسة، ومنه \(AE = BF\).
1ب) تقايس المثلثين \(BFC\) و \(AED\):
نقارن المثلثين القائمين \(AED\) و \(BFC\):
2) تقايس المثلثين \(BCD\) و \(ACD\):
في شبه المنحرف المتقايس الضلعين، القطران متقايسان، أي \(AC = BD\).
نقارن المثلثين \(ACD\) و \(BCD\) بحالة (SSS):
3) إثبات أن \(ICD\) متقايس الضلعين:
من تقايس المثلثين \(ACD\) و \(BCD\)، نستنتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة.
إذن \(\widehat{ACD} = \widehat{BDC}\).
في المثلث \(ICD\)، بما أن زاويتي القاعدة \(\widehat{ICD}\) و \(\widehat{IDC}\) متقايستان، فهو مثلث متقايس الضلعين في \(I\). إذن \(IC = ID\).
1أ) بيّن أنّ \(AE = BF\):
بما أن \((AB)\) و \((CD)\) هما قاعدتا شبه المنحرف، فإنهما متوازيان: \((AB) // (CD)\).
ولدينا \((AE) \perp (CD)\) و \((BF) \perp (CD)\) حسب تعريف المساقط العمودية.
إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فهما متوازيان. إذن \((AE) // (BF)\).
الرباعي \(ABFE\) له كل ضلعين متقابلين متوازيين، فهو متوازي أضلاع. وبما أن إحدى زواياه قائمة (مثلاً \(\widehat{AEF} = 90^\circ\))، فهو مستطيل.
من خصائص المستطيل أن أضلاعه المتقابلة متقايسة، ومنه \(AE = BF\).
1ب) استنتج أنّ المثلثين \(BFC\) و \(AED\) متقايسان:
نقارن المثلثين القائمين \(AED\) (في E) و \(BFC\) (في F):
إذن، المثلثان \(AED\) و \(BFC\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).
1ج) بيّن أنّ \(\widehat{ADE} = \widehat{BCF}\):
بما أن المثلثين \(AED\) و \(BFC\) متقايسان، فإن زواياهما المتناظرة متقايسة. الزاوية \(\widehat{ADE}\) تناظر الزاوية \(\widehat{BCF}\).
إذن، \(\widehat{ADE} = \widehat{BCF}\). (وهذه هي خاصية زوايا القاعدة في شبه المنحرف المتقايس الضلعين).
2) بيّن أنّ المثلثين \(BCD\) و \(ACD\) متقايسان:
خاصية: في شبه المنحرف المتقايس الضلعين، يكون القطران متقايسين، أي \(AC=BD\).
نقارن المثلثين \(ACD\) و \(BCD\) حسب حالة "ضلع-ضلع-ضلع" (SSS):
إذن، المثلثان \(ACD\) و \(BCD\) متقايسان.
3) بيّن أن المثلث \(ICD\) متقايس الضلعين:
من تقايس المثلثين \(ACD\) و \(BCD\) في السؤال السابق، نستنتج أن زواياهما المتناظرة متقايسة.
الزاوية \(\widehat{ACD}\) في المثلث \(ACD\) تناظر الزاوية \(\widehat{BDC}\) في المثلث \(BCD\). إذن \(\widehat{ACD} = \widehat{BDC}\).
في المثلث \(ICD\)، الزاويتان عند القاعدة هما \(\widehat{ICD}\) (وهي نفسها \(\widehat{ACD}\)) و \(\widehat{IDC}\) (وهي نفسها \(\widehat{BDC}\)).
بما أن زاويتي القاعدة متقايستان، فإن المثلث \(ICD\) متقايس الضلعين في \(I\).
4) بيّن أن المثلثين \(ICJ\) و \(IDJ\) متقايسان:
لدينا \((IJ) // (AE)\) و \((AE) \perp (CD)\). إذن \((IJ) \perp (CD)\).
هذا يعني أن المثلثين \(ICJ\) و \(IDJ\) قائمان في \(J\).
نقارن بين هذين المثلثين القائمين:
إذن، المثلثان \(ICJ\) و \(IDJ\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وضلع قائم).