1. في المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، إذا كان المستقيم \(\Delta\) هو الموسط العمودي للقاعدة \([BC]\)، فأي نقطة من النقاط التالية تنتمي حتماً إلى \(\Delta\)؟
التفسير: بما أن \(AB = AC\)، فإن النقطة \(A\) تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة \([BC]\)، وحسب خاصية الموسط العمودي، فإن \(A\) تنتمي إليه.
2. ليكن \(ABC\) مثلثاً حيث قيس الزاوية \(\widehat{A} = 70^\circ\) وقيس الزاوية \(\widehat{B} = 40^\circ\). هذا المثلث هو:
التفسير: قيس الزاوية الثالثة هو \(180 - (70 + 40) = 70^\circ\). بما أن \(\widehat{A} = \widehat{C} = 70^\circ\)، فإن المثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(B\) (القاعدة هي \([AC]\)).
3. في مثلث متقايس الضلعين، المنصف الداخلي لزاوية القمة الرئيسية هو نفسه:
التفسير: هذه هي الخاصية الأساسية لانطباق الخطوط المرجعية؛ المستقيم المار من القمة الرئيسية يؤدي جميع الأدوار الأربعة بالنسبة للقاعدة.
4. إذا كان \(ABC\) مثلثاً متقايس الضلعين في \(A\)، فإن الارتفاعين الصادرين من الرأسين \(B\) و \(C\):
التفسير: في المثلث متقايس الضلعين، العناصر المرافقة لزوايا القاعدة (الارتفاعات، الموسطات، المنصفات) تكون دائماً متقايسة مثنى مثنى.
5. "المثلث القائم الزاوية الذي يحتوي على زاوية قيسها \(45^\circ\) هو مثلث متقايس الضلعين". هذه العبارة:
التفسير: الزاوية الثالثة ستكون \(180 - (90 + 45) = 45^\circ\). بما أن هناك زاويتين متقايستين، فالمثلث متقايس الضلعين.
6. في المثلث متقايس الضلعين، مركز الدائرة المحاطة بالمثلث يقع دائماً على:
التفسير: مركز الدائرة المحاطة هو نقطة تقاطع المنصفات. وبما أن منصف زاوية القمة هو محور تناظر، فإن المركز يقع عليه حتماً.
7. إذا كان الموسط الصادر من \(A\) عمودياً على \((BC)\)، فماذا نستنتج عن المثلث \(ABC\)؟
التفسير: عندما يكون الموسط (يمر بالمنتصف) والارتفاع (عمودي) منطبقين، فإن المثلث يكون متقايس الضلعين في ذلك الرأس.
8. في مثلث متقايس الضلعين، إذا كان قيس إحدى زوايا القاعدة هو \(x\)، فإن قيس زاوية القمة الرئيسية يكون:
التفسير: مجموع الزوايا \(180^\circ\). زوايا القاعدة متساوية (\(x + x\))، لذا زاوية القمة هي الباقي من \(180^\circ\).
9. أي من الحالات التالية "لا تكفي" لإثبات أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين؟
التفسير: وجود زاوية \(60^\circ\) لا يكفي؛ يجب أن نعرف قيس زاوية ثانية أو وجود ضلعين متساويين لنحدد نوعه.
10. إذا كان \(ABC\) مثلثاً متقايس الضلعين في \(A\)، فإن مناظر الرأس \(B\) بالنسبة لمحور التناظر الصادر من \(A\) هو:
التفسير: محور التناظر (الموسط العمودي للقاعدة) يجعل كل نقطة من القاعدة مناظرة للأخرى. إذن مناظرة \(B\) هي \(C\).