1. إذا انطبقت "ثلاثة" خطوط مرجعية (صادرة من رؤوس مختلفة) في نقطة واحدة لتكون هي نفسها مراكز المثلث الأربعة، فإن المثلث يكون:
التفسير: في المثلث متقايس الأضلاع، تنطبق جميع الخطوط المرجعية الصادرة من جميع الرؤوس، وبالتالي تنطبق جميع المراكز (الثقل، المحاطة، المحيطة، والعمودي).
2. في مثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، النقطة \(G\) هي مركز الثقل. أي عبارة مما يلي صحيحة دائماً؟
التفسير: بما أن الموسط الصادر من \(A\) ينطبق على الموسط العمودي للقاعدة، ومركز الثقل يقع على الموسط، فإنه يقع بالضرورة على الموسط العمودي.
3. ليكن \(ABC\) مثلثاً متقايس الضلعين في \(A\). إذا كان قيس الزاوية الخارجية عند الرأس \(A\) هو \(100^\circ\)، فإن قيس زاوية القاعدة \(\widehat{B}\) هو:
التفسير: الزاوية الخارجية عند \(A\) تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين (\(\widehat{B} + \widehat{C}\)). وبما أن \(\widehat{B} = \widehat{C}\)، فإن كل واحدة تساوي نصف الـ \(100^\circ\).
4. في مثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، لتكن \(M\) نقطة من القاعدة \([BC]\). يكون المستقيم \((AM)\) محور تناظر للمثلث إذا وفقط إذا كان:
التفسير: محور التناظر هو منصف الزاوية (الذي يبعد مسافات متساوية عن الضلعين) وهو أيضاً الموسط العمودي (الذي يجعل المثلثات الناتجة قائمة عند \(M\)).
5. "كل مثلث له موسطان متقايسان هو مثلث متقايس الضلعين". هذه المبرهنة تسمى مبرهنة:
معلومة: مبرهنة شتاينر-ليموس تنص على أن المثلث الذي يتساوى فيه طولا منصفين (أو موسطين) هو مثلث متقايس الضلعين.
6. في مثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، إذا كان الارتفاع \(AH\) يساوي نصف القاعدة \(BC\)، فإن قيس زاوية الرأس \(\widehat{A}\) هو:
التفسير: في المثلث \(ABH\) القائم في \(H\)، إذا كان \(AH = BH\) (لأن \(BH\) نصف \(BC\))، فإن المثلث \(ABH\) قائم ومتقايس الضلعين، فتكون الزاوية \(\widehat{BAH} = 45^\circ\). وبما أن الارتفاع منصف، فإن \(\widehat{A} = 90^\circ\).
7. إذا كان الموسط العمودي للضلع \([AB]\) والموسط العمودي للضلع \([AC]\) يتقاطعان في نقطة تنتمي إلى \([BC]\)، فإن المثلث \(ABC\):
التفسير: نقطة تقاطع الموسطات العمودية هي مركز الدائرة المحيطة. إذا وقعت على ضلع، فإن المثلث قائم والضلع هو الوتر.
8. في مثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، لتكن \(I\) مركز الدائرة المحاطة و \(O\) مركز الدائرة المحيطة. المستقيم \((IO)\) هو:
التفسير: كلا المركزين يقعان على محور تناظر المثلث، وهو الموسط العمودي للقاعدة الصادر من القمة الرئيسية.
9. إذا كان \(ABC\) مثلثاً متقايس الضلعين في \(A\)، وقيس الزاوية \(\widehat{B} = 2 \times \widehat{A}\)، فإن قيس \(\widehat{A}\) هو: