اختبار تفاعلي: المثلث متقايس الأضلاع

التفسير: باستخدام مبرهنة فيثاغورس في نصف المثلث: \(h^2 + (a/2)^2 = a^2\)، ومنه نجد أن \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

التفسير: مركز المثلث هو مركز الثقل، وهو يبعد عن الرأس (شعاع الدائرة المحيطة) ضعف بعده عن الضلع (شعاع الدائرة المحاطة).

التفسير: المساحة تتناسب مع مربع الضلع (\(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)). إذا أصبح الضلع \(2a\)، تصبح المساحة \(4\) مرات المساحة الأصلية.

معلومة متقدمة: في أي مثلث متقايس الأضلاع، مجموع الأبعاد العمودية لنقطة داخلية عن الأضلاع ثابت ويساوي دائماً طول الارتفاع.

الحساب: \( \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \).

التفسير: الدائرة كاملة \(360^\circ\). وبما أن الأوتار متساوية، فالزوايا المركزية متساوية: \(360 \div 3 = 120^\circ\).

التفسير: وجود محور تناظر واحد يثبت فقط أن المثلث متقايس الضلعين. المثلث متقايس الأضلاع يحتاج لـ 3 محاور.

الحساب: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \Rightarrow a = 6 \). المحيط هو \( 3 \times 6 = 18 \).

التفسير: نقطة توريتشيللي هي النقطة التي يكون مجموع مسافاتها إلى الرؤوس أصغر ما يمكن. في المثلث متقايس الأضلاع، هذه النقطة هي المركز.

الحساب: \( r = h/3 = 1 \Rightarrow h = 3 \). بما أن \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3 \Rightarrow a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \). المساحة \( S = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \).