تمارين في تقايس المثلثات

دفواراتي
المثلثات والمسقط العمودي
1

لدينا \(ABC\) مثلث و \(I\) منتصف \([BC]\). \(H\) المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AI)\) و \(K\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((AI)\).

  1. أ) بيّن أن المثلثين \(CHI\) و \(BKI\) متقايسان.
  2. ب) استنتج أن المثلثين \(AIB\) و \(AIC\) لهما نفس المساحة.
  3. بيّن أن المثلثين \(IBH\) و \(ICK\) متقايسان.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1أ: المثلثان \(CHI\) و \(BKI\) قائمان. للمقارنة بينهما، ابحث عن وترين متقايسين وزاويتين حادتين متقايستين. تذكر أن الزوايا المتقابلة بالرأس متقايسة.

للسؤال 1ب: مساحة المثلث تساوي (القاعدة × الارتفاع) / 2. للمثلثين \(AIB\) و \(AIC\)، اعتبر \((AI)\) هي القاعدة. ما هما الارتفاعان الموافقان لهذه القاعدة؟

للسؤال 2: استخدم نتائج التقايس الأول. لديك الآن أضلاع وزوايا متقايسة إضافية. حاول تطبيق حالة تقايس "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS).

📝 الطريقة

1أ) تقايس المثلثين \(CHI\) و \(BKI\):
نقارن المثلثين القائمين \(CHI\) (في H) و \(BKI\) (في K):

  • الوتر: لدينا \(I\) منتصف \([BC]\)، إذن الوتر \(IC = IB\).
  • زاوية حادة: الزاويتان \(\widehat{CIH}\) و \(\widehat{BIK}\) متقابلتان بالرأس، فهما متقايستان.
إذن المثلثان متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).

1ب) استنتاج تساوي المساحات:
من تقايس المثلثين \(CHI\) و \(BKI\)، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، أي أن \(CH = BK\).
- مساحة المثلث \(AIC\) هي \(\mathcal{A}(AIC) = \frac{AI \times CH}{2}\).
- مساحة المثلث \(AIB\) هي \(\mathcal{A}(AIB) = \frac{AI \times BK}{2}\).
بما أن \(CH = BK\) ولهما نفس القاعدة \(AI\)، فإن لهما نفس المساحة.

2) تقايس المثلثين \(IBH\) و \(ICK\):
نقارن المثلثين \(IBH\) و \(ICK\) باستخدام حالة التقايس "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع الأول: \(IB = IC\) (لأن I منتصف [BC]).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{HIB} = \widehat{KIC}\) (لأنهما متقابلتان بالرأس).
  • الضلع الثاني: من التقايس الأول (\(CHI \cong BKI\)), نستنتج أن \(IH = IK\).
إذن، المثلثان \(IBH\) و \(ICK\) متقايسان.

✅ الحل الكامل

1أ) لنبين أن المثلثين \(CHI\) و \(BKI\) متقايسان:

نقارن المثلثين القائمين \(CHI\) و \(BKI\):

  • هما قائمان في H و K على التوالي لأن H و K مسقطان عموديان.
  • الوتر [IC] في الأول والوتر [IB] في الثاني متقايسان لأن \(I\) منتصف \([BC]\).
  • الزاوية الحادة \(\widehat{CIH}\) والزاوية الحادة \(\widehat{BIK}\) متقايستان لأنهما متقابلتان بالرأس.

النتيجة: المثلثان \(CHI\) و \(BKI\) متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).

1ب) لنستنتج أن المثلثين AIB و AIC لهما نفس المساحة:

من تقايس \(CHI\) و \(BKI\) نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، ومنه الارتفاع \(CH = BK\).

  • مساحة المثلث AIC هي \(\mathcal{A}(AIC) = \frac{AI \times CH}{2}\).
  • مساحة المثلث AIB هي \(\mathcal{A}(AIB) = \frac{AI \times BK}{2}\).

بما أن \(CH = BK\)، فإن للمثلثين نفس المساحة.

2) لنبين أن المثلثين \(IBH\) و \(ICK\) متقايسان:

نقارن بين المثلثين \(IBH\) و \(ICK\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(IB = IC\) (لأن I منتصف [BC]).
  • الزاوية: \(\widehat{HIB} = \widehat{KIC}\) (زاويتان متقابلتان بالرأس).
  • الضلع: من تقايس المثلثين في السؤال 1أ، نستنتج أن الضلعين المتناظرين \(IH\) و \(IK\) متقايسان.

النتيجة: المثلثان \(IBH\) و \(ICK\) متقايسان.

دائرة وتقايس المثلثات
2

لتكن دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\) وشعاعها \(r\). عين عليها نقطتين \(B\) و \(C\) غير متقابلتين قطريا. \(M\) نقطة من \([OB]\) و \(N\) نقطة من \([OC]\) بحيث \(OM = ON\).

  1. أثبت تقايس المثلثين \(OBN\) و \(OCM\).
  2. بيّن أن \(MC = NB\).
  3. لتكن \(I\) نقطة تقاطع \((BN)\) و \((CM)\). بيّن أن المثلثين \(IMB\) و \(INC\) متقايسان.
  4. بيّن أن \((OI) \perp (BC)\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لمقارنة المثلثين \(OBN\) و \(OCM\)، ابحث عن ضلعين وزاوية محصورة. ما العلاقة بين \(OB\) و \(OC\)؟ ما هي الزاوية المشتركة بين المثلثين؟

للسؤال 2: هذا السؤال هو نتيجة مباشرة للسؤال الأول. إذا كان مثلثان متقايسين، فماذا عن أضلاعهما المتناظرة؟

للسؤال 3: لإثبات تقايس \(IMB\) و \(INC\)، استخدم نتائج السؤال الأول. كيف يمكنك إثبات أن \(BM=CN\)؟ ابحث عن زوايا متقايسة أخرى.

للسؤال 4: لإثبات أن \((OI) \perp (BC)\)، أثبت أن \((OI)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([BC]\). ولكي تفعل ذلك، أثبت أن النقطتين \(O\) و \(I\) متساويتا البعد عن طرفي القطعة \([BC]\).

📝 الطريقة

1) تقايس المثلثين \(OBN\) و \(OCM\):
نطبق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(OB = OC\) (كلاهما شعاع في الدائرة \((\mathcal{C})\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{BOC}\) هي زاوية مشتركة بين المثلثين.
  • الضلع: \(ON = OM\) (معطى).
إذن المثلثان متقايسان.

2) إثبات أن \(MC = NB\):
بما أن المثلثين \(OBN\) و \(OCM\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة. الضلع \([NB]\) في المثلث الأول نظير الضلع \([MC]\) في المثلث الثاني، إذن \(NB = MC\).

3) تقايس المثلثين \(IMB\) و \(INC\):
نطبق حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • الزاوية: من تقايس السؤال 1، نستنتج أن \(\widehat{OBN} = \widehat{OCM}\).
  • الضلع: لدينا \(OB = OC\) و \(OM = ON\). بطرح المعادلتين: \(OB - OM = OC - ON\)، مما يعني أن \(BM = CN\).
  • الزاوية: من تقايس السؤال 1، نستنتج أن \(\widehat{ONB} = \widehat{OMC}\). بما أن الزاويتين \(\widehat{INC}\) و \(\widehat{ONB}\) متكاملتان (مجموعهما 180 درجة)، وكذلك الزاويتان \(\widehat{IMB}\) و \(\widehat{OMC}\)، فإن \(\widehat{INC} = \widehat{IMB}\).
إذن المثلثان \(IMB\) و \(INC\) متقايسان.

4) إثبات أن \((OI) \perp (BC)\):
- النقطة O متساوية البعد عن B و C لأن \(OB = OC\) (شعاعان). إذن O تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\).
- من تقايس السؤال 3، نستنتج أن \(IB = IC\). إذن I متساوية البعد عن B و C. إذن I تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\).
- بما أن النقطتين المختلفتين O و I تنتميان للموسط العمودي لـ \([BC]\)، فإن المستقيم \((OI)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\).
وبالتالي، \((OI) \perp (BC)\).

✅ الحل الكامل

1) لنثبت تقايس المثلثين OBN و OCM:

نقارن المثلثين \(OBN\) و \(OCM\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع":

  • الضلع: \(OB = OC\) ( لأنهما شعاعان في نفس الدائرة).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{BOC}\) هي زاوية مشتركة للمثلثين.
  • الضلع: \(ON = OM\) (حسب المعطيات).

النتيجة: المثلثان \(OBN\) و \(OCM\) متقايسان.

2) لنبين أن MC = NB:

بما أن المثلثين \(OBN\) و \(OCM\) متقايسان، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة. إذن، \(MC = NB\).

3) لنبين أن المثلثين \(IMB\) و \(INC\) متقايسان:

نستخدم حالة التقايس "زاوية-ضلع-زاوية":

  • الزاوية: من تقايس \(OBN\) و \(OCM\)، نستنتج أن \(\widehat{OBN} = \widehat{OCM}\) (أو \(\widehat{MBI} = \widehat{NCI}\)).
  • الضلع: نعلم أن \(OB = OC\) و \(OM = ON\). إذن \(BM = OB - OM\) و \(CN = OC - ON\). ومنه \(BM = CN\).
  • الزاوية: الزاويتان \(\widehat{BIM}\) و \(\widehat{CIN}\) متقابلتان بالرأس، فهما متقايستان.

النتيجة: المثلثان \(IMB\) و \(INC\) متقايسان.

4) لنبين أن \((OI) \perp (BC)\):

الموسط العمودي لقطعة مستقيمة هو محور تناظرها ومجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفيها.

  • لدينا \(OB = OC\) (شعاعان)، إذن النقطة \(O\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\).
  • من تقايس المثلثين \(IMB\) و \(INC\) في السؤال 3، نستنتج أن \(IB = IC\). إذن النقطة \(I\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\).

بما أن النقطتين المختلفتين \(O\) و \(I\) تنتميان إلى الموسط العمودي للقطعة \([BC]\)، فإن المستقيم \((OI)\) هو نفسه الموسط العمودي.
إذن، \((OI)\) عمودي على \((BC)\).