السلسلة الثالثة
التمرين الرابع (مجموعة متنوعة) بالتصميم الأنيق
في الرسم، المستقيمان (EF) و (BC) متوازيان. المستقيم (AM) يقطع (EF) في N. والمستقيم (AH) العمودي على (BC) يقطع (EF) في K.
- قارن المثلثين AEF و ABC.
- قارن المثلثين ANF و ABM.
- بين أن (KF) ⊥ (AH).
1) المثلثان ABC و AEF هما:
- AB = AF (معطى)
- AE = AC
- BÂC = EÂF (زاويتان متقابلتان بالرأس)
ب) الزاوية BĈA نظيرة للزاوية AÊF إذن BĈA = AÊF.
ج) المستقيمان (BC) و (EF) يقطعان مع (CE) القاطع لهما في C و E. إذن زاويتان متبادلتان داخليا متقايستان BĈA = AÊF.
2) المثلثان ABM و ANF هما:
- AF = AB (معطى)
- BÂM = NÂF (زاويتان متقابلتان بالرأس)
- AB̂M = AF̂N (زاويتان متبادلتان داخليا حصلتان عن المستقيمين المتوازيين (BC) و (EF) و القاطع لهما (BF)).
إذن المثلثين ABM و ANF متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات.
3) لنا AB̂H = AF̂K (معطى) و عل أن AĤB = AิKF (حسب ما سبق) فإن المثلثين ABH و AFK متقايسان. لدينا (AH) ⊥ (BC) و (BC) // (EF) إذن (AH) ⊥ (EF) أي (KF) ⊥ (AH) وبالتالي فإن المثلث AKF قائم الزاوية في K.
ارسم متوازي أضلاع ABCD مركزه O ومستقيما Δ يمر من O ويقطع (AD) في نقطة E و (BC) في نقطة F.
- بيّن أن O منتصف [EF].
- بيّن أن الرباعي BEDF متوازي أضلاع.
1) لدينا (AD) // (BC) لأن ABCD متوازي أضلاع. المستقيمان (AF) و (BD) قاطعان لهما. في المثلثين ODF و OBE، لدينا:
- ODF = OBE (زاويتان متبادلتان داخليا)
- DÔF = BÔE (زاويتان متقابلتان بالرأس)
- OB = OD (لأن O مركز متوازي الأضلاع ABCD)
إذن المثلثان ODF و OBE متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات. الضلع [OE] نظير للضلع [OF] إذن OE = OF. بما أن O نقطة من [EF]، فإن O منتصف [EF].
2) القطران [BD] و [EF] للرباعي BEDF يتقاطعان في منتصفهما O، إذن BEDF متوازي أضلاع.
ABCD متوازي أضلاع. M منتصف [AB] و N منتصف [CD]. (AN) يقطع (DM) في K و (CM) يقطع (BN) في H.
- أثبت أن المثلثين ADN و MBC متقايسان.
- بيّن أن AKN و CHM متقايسان.
- استنتج أن المثلثين AKM و CHM متقايسان.
1) في المثلثين ADN و MBC لنا:
- AD = BC (لأن ABCD متوازي أضلاع)
- DN = CD/2 و MB = AB/2. بما أن CD=AB، فإن DN=MB.
- AD̂N = MB̂C (زوايا متقابلة في متوازي الأضلاع)
إذن المثلثان ADN و MBC متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات.
2) لدينا (AB) // (CD) متوازيان. (AN) قاطع لهما إذن NÂK = AÑC (زاويتان متبادلتان داخليا). بنفس الطريقة CĤM = NÂK. في المثلثين AKN و CHM القائمين في K و H لدينا: AN = MC (وتران متقايسان حسب ما سبق) و NÂK = CĤM. إذن فهما متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات القائمة.
3) نستنتج من مقارنة المثلثين AKN و CHM أن AK=MH إذن AK=MH. لدينا MB=AK، و بما أن AK=MH، فإن MB=MH.