تمارين تقايس المثلثات

1) أ) لنبين أن المثلثين CHI و BIK متقايسان:

الخطوة 1: المثلثان CHI و BIK قائمان في H و K على التوالي.

الخطوة 2: نقارن بينهما باستخدام حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).

• الوتر: I منتصف [BC]، إذن الوتر IC = IB.
• زاوية حادة: الزاويتان $$C\hat{I}H$$ و $$B\hat{I}K$$ متقابلتان بالرأس، إذن هما متقايستان.

النتيجة: المثلثان CHI و BIK متقايسان.

---

1) ب) لنستنتج أن المثلثين AIB و AIC لهما نفس المساحة:

الخطوة 1: من تقايس CHI و BIK نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، أي CH = BK.

الخطوة 2: مساحة المثلث AIC هي $$ \frac{AI \times CH}{2} $$ (القاعدة AI والارتفاع CH).

الخطوة 3: مساحة المثلث AIB هي $$ \frac{AI \times BK}{2} $$ (القاعدة AI والارتفاع BK).

النتيجة: بما أن CH = BK، فإن للمثلثين نفس المساحة.

---

2) لنبين أن المثلثين IBH و ICK متقايسان:

الخطوة 1: نقارن بين ΔIBH و ΔICK باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع".

• الضلع الأول: IB = IC (معطى).
• الضلع الثاني: IH = IK (من تقايس المثلثين في السؤال 1).
• الزاوية المحصورة: $$H\hat{I}B = K\hat{I}C$$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).

النتيجة: المثلثان IBH و ICK متقايسان.

1) لنثبت تقايس المثلثين OBN و OCM:

نستخدم حالة "ضلع-زاوية-ضلع":

• الضلع الأول: OB = OC (شعاعان في نفس الدائرة).
• الزاوية المحصورة: $$B\hat{O}C$$ هي زاوية مشتركة للمثلثين.
• الضلع الثاني: OM = ON (معطى).

النتيجة: المثلثان OBN و OCM متقايسان.

---

2) لنبين أن MC = NB:

هذه نتيجة مباشرة من تقايس المثلثين OBN و OCM، حيث أن [NB] و [MC] هما ضلعان متناظران.

---

3) لنبين أن المثلثين IMB و ICN متقايسان:

نستخدم حالة "زاوية-ضلع-زاوية":

• الزاوية الأولى: من التقايس الأول، نستنتج أن $$O\hat{B}N = O\hat{C}M$$.
• الضلع: لنحسب BM و CN. لدينا OB = OC و OM = ON، إذن OB - OM = OC - ON، مما يعني BM = CN.
• الزاوية الثانية: الزاويتان $$C\hat{I}N$$ و $$B\hat{I}M$$ متقابلتان بالرأس، إذن متقايستان.

النتيجة: المثلثان IMB و ICN متقايسان.

---

4) لنبين أن $$(OI) \perp (BC)$$:

الخطوة 1: من تقايس IMB و ICN، نستنتج أن IB = IC. إذن المثلث IBC متقايس الضلعين في I.

الخطوة 2: لدينا أيضا المثلث OBC متقايس الضلعين في O (لأن OB = OC).

الخطوة 3: المستقيم (OI) يمر من رأسي مثلثين متقايسي الضلعين (OBC و IBC) يشتركان في نفس القاعدة [BC]. إذن (OI) هو الموسط العمودي للقاعدة [BC].

النتيجة: $$(OI) \perp (BC)$$.

1) إن (AH) هو الموسط العمودي لـ [BC] و I نقطة من (AH) إذن IB = IC و منه IBC مثلث متقايس الضلعين في I.

2) في المثلث ABC لنا: [Bx) منصف ABC و [AH] الإرتفاع الصادر من A في مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A إذن (AH) منصف الزاوية CAB و {I} = (AH) ∩ (Bx) ومنه I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC و I ∈ (Cx) إذن (CI) منصف الزاوية ACB.

3) في المثلثين ABD و ACE لدينا: AB = AC, (زاوية مشتركة) CAE = BAD, و ACE = ABD لأن ABC = ACB و (BC] منصف الزاوية ABC و (CI) منصف الزاوية ACB. إذن ABD و ACE متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات العامة.

1) أ- نعلم أن [AB] و [CD] قطران متعامدان من نفس الدائرة إذن (CD) عمودي على [AB] في منتصفها ومنه (CD) الموسط العمودي لـ [AB].

ب- لدينا (CD) الموسط العمودي لـ [AB] إذن CA = CB ومنه ACB مثلث متقايس الضلعين في C. لنا I منتصف [AB] إذن [CI] هو الموسط الصادر من C في المثلث ACB المتقايس الضلعين في C و منه فإن (CI) هو منصف الزاوية AĈB.

2) أ- نعلم أن المثلث IEC قائم في E لأن E المسقط العمودي لـ I على (AC) و المثلث ICF قائم في F لأن F المسقط العمودي لـ I على (CB). في المثلثين القائمين IEC و ICF لدينا:

• [IC] وتر مشترك
• IĈE = IĈF لأن (CI] منصف الزاوية AĈB

إذن المثلثين IEC و ICF متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات القائمة.

ب- CF = CE لأن العناصر النظيرة في المثلثين المتقايسين IEC و ICF متقايسة مثنى مثنى.

1) النقطة H هي المركز القائم للمثلث ABC لأنها تنتج عن تقاطع ارتفاعين من المثلث.

2) أ- في المثلثين القائمين BCE و BCF لدينا:

• [BC] وتر مشترك
• EBC = FCB لأن ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A

إذن المثلثين BCF و BCE متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات القائمة.

ب- بما أن المثلثين FCB و ECB متقايسان فإن العناصر النظيرة متقايسة مثنى مثنى و منه CF = BE.

3) في المثلثين القائمين AHE و AHF لدينا:

• [AH] وتر مشترك
• AF = AE لأن [AC]∈E و [AB]∈F إذن AE = AC-EC = AB-FB = AF

إذن المثلثين AEH و AFH متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات القائمة.

1) أ- في المثلثين OAM و OBM لدينا:

• [OM] ضلع مشترك
• OA = OB (شعاع لـC)
• AÔM = BÔM لأن [OM) منصف الزاوية AÔB

و منه المثلثين AOM و BOM متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات العامة.

ب- بما أن OA = OB و المثلثين AOM و BOM متقايسان فإن العناصر النظيرة متقايسة مثنى مثنى ومنه MA = MB و بالتالي (OM) الموسط العمودي لـ [AB]. و منه (OM) ⊥ (AB).

2) أ- لدينا Δ المماس للدائرة C في A يقطع 'Δ المماس للدائرة C في B في النقطة T إذن المثلثين OAT و OBT قائمان على التوالي في A و B. في المثلثين القائمين OAT و OBT لدينا:

• [OT] وتر مشترك
• OA = OB

إذن OAT و OBT متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات القائمة.

ب- OAT و OBT متقايسان وينتج عن ذلك TA = TB يعني T ينتمي إلى الموسط العمودي لـ [AB]. و منه T ∈ (OM). إذن نستنتج أن O و M و T على استقامة واحدة.

1) في المثلثين OAM و OBM لدينا:

• [OM] ضلع مشترك
• OA = OB معطى
• AÔM = BÔM لأن [OM) منصف الزاوية AOB

إذن AOM و BOM متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات العامة. عن ذلك تقايس العناصر النظيرة مثنى مثنى و منه: MA = MB.

2) أ- BKM مثلث قائم في K لأن K المسقط العمودي لـ M على (Oy) و AHM مثلث قائم في H لأن H المسقط العمودي لـ M على (Ox). في المثلثين القائمين AHM و BKM لدينا:

• MA = MB
• MH = MK لأن M نقطة من [Ox) منصف الزاوية AOB فهي متساوية البعد عن ضلعي تلك الزاوية.

إذن المثلثين AHM و BKM متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات القائمة.

ب-

• (OM) هو الموسط العمودي لـ [AB] أي أن (AB) ⊥ (OM)
• لدينا BK = AH لأن [AH] و [BK] عناصر نظيرة في المثلثين المتقايسين AHM و BKM و منه OA = OB إذن OK = OH.
• (OM) هو الموسط العمودي لـ [HK] أي أن (HK) ⊥ (OM)

نستنتج أن (HK) // (AB).

1) أ- نعلم أن ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] فإن (AB)//(CD). إذن (EF)//(AB) لأن E و F نقطتين من (CD). من جهة أخرى E و F المسقطين العموديين لـ A و B على التوالي على (CD) إذن (AE) ⊥ (CD) و (BF) ⊥ (CD) و منه (AE)//(BF) و بالتالي الرباعي ABEF متوازي الأضلاع و منه AE = BF.

ب- لدينا BCF و AED مثلثين قائمين في F و E على التوالي لأن (AE) ⊥ (CD) و (BF) ⊥ (CD). في المثلثين القائمين BCF و AED لدينا:

• AD = BC لأن ABCD شبه منحرف متقايس الضلعين.
• AE = BF (تبيين سابق).

إذن المثلثين BCF و AED متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات القائمة.

ج- نعلم أن المثلثين BCF و AED متقايسان فإن العناصر النظيرة متقايسة مثنى مثنى و منه ADÊ = BĈF.

1) أ- لنا ABC متقايس الأضلاع و (AO] منصف الزاوية BÂC إذن (AO) هو الموسط العمودي لـ [BC] أي أنّ OB=OC. (BO] هو منصف AĈB إذن (BO) هو الموسط العمودي لـ [AC] أي أنّ OA=OC. نستنتج أنّ OA=OB=OC.

ب- في المثلثين AOB و AOC لنا:

• [OA] ضلع مشترك
• OB=OC
• AB=AC لأن ABC متقايس الأضلاع

إذن OAB و OAC متقايسان حسب الحالة 3 من تقايس المثلثات العامة.

2) أ- لنا EBC = EÔB لأن (BO] هو منصف الزاوية EBC. OBC = EOB (زاويتان متبادلتان داخليا حصلتان عن تقاطع (OB) مع المتوازيين (OE) و (BC)). إذن EBO = EOB. و منه EOB مثلث متقايس الضلعين في E.

ب- OĈF = OCB لأن (CO] هو منصف FCB. O مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC لأنها تنتج تقاطع منصفات الزوايا. FOC = OCB (زاويتان متبادلتان داخليا حصلتان عن تقاطع (OC) مع المتوازيين (EF) و (BC)). إذن FOC = OĈF أي أنّ OFC متقايس الضلعين في F وبالتالي FO=FC.

ج- لدينا [EF]∈O إذن EF = EO + OF.

1) أ- في المثلثين AID و BIC لدينا:

• AI = BI (I منتصف [AB])
• AD = BC = 2
• IÂD = IĈC = 90°

إذن IAD و IBC متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات العامة و ينتج عن ذلك ID = IC و BÎC = AÎD و ADI = BCI.

ب- ID = IC إذن IDC متقايس الضلعين في I. من جهة أخرى AD=2 و IA=2 إذن AID قائم و متقايس الضلعين في A و منه AÎD = 45°. BC=2 و IB=2 إذن BIC قائم و متقايس الضلعين في B و منه BÎC = 45°. و بهذا: DÎC = 180 - (45 + 45) = 90°. إذن IDC مثلث قائم و متقايس الضلعين في I.

2) في المثلثين BJD و BJE لنا: BJD قائم في J و BJE قائم في J لأن (BJ) ⊥ (DE).

• BD = BE
• [BJ] ضلع مشترك

إذن BJD و BJE متقايسان حسب الحالة الثانية من تقايس المثلثات القائمة.

1) في المثلثين OBN و OCM لدينا:

• ON = OM
• OC = OB لأن O مركز الدائرة C و B و C نقطتين منها
• BÔC (زاوية مشتركة)

إذن OBN و OCM متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات العامة.

2) OBN و OCM متقايسان ينتج عن ذلك تقايس العناصر النظيرة مثنى مثنى و منه: BN = CM.

3) لنا BN̂O = CM̂O لأنهما عناصر نظيرة في المثلثين المتقايسين OBN و OCM و منه: CM̂B = 180 - CM̂O = 180 - BN̂O = BN̂C. نستنتج أن IM̂B = IN̂C.

4) أ- في المثلثين IBM و ICN لدينا:

• بما أن OC=OB و ON=OM فإن CN = BM
• CN̂I = BM̂I
• NĈI = MB̂I

إذن المثلثين IBM و ICN متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات العامة.

ب- نعلم أن المثلثين IBM و ICN متقايسان فإن العناصر النظيرة متقايسة مثنى مثنى إذن IB=IC. و بما أن OC=OB فإن (OI) هو الموسط العمودي لـ [BC].

5) في المثلثين OEC و OEB لنا E نقطة من المستقيم (OI) الموسط العمودي لـ [BC] إذن EC = EB.

• [OE] ضلع مشترك
• OC = OB

إذن OEC و OEB مثلثان متقايسان حسب الحالة الثالثة من تقايس المثلثات العامة.

2) أ- في المثلثين AMB و AMC لدينا:

• AB = AC = 6
• M نقطة من الموسط العمودي لـ [BC] إذن MB = MC
• [AM] ضلع مشترك

إذن AMB و AMC متقايسان حسب الحالة الثالثة لتقايس المثلثات العامة. ينتج عن ذلك: AMB = AMC, BÂM = CÂM, ABM = ACM.

ب- بما أن BÂM = CÂM فإنهما متقايسان و متجاورتان. أي أن (AM] هو منصف CÂB و D نقطة من (AM) و منه (AD] منصف CÂB.

3) أ- AMH قائم في H لأن H المسقط العمودي لـ M على (AB) و AMK قائم في K لأن K المسقط العمودي لـ M على (AC). في المثلثين القائمين AMH و AMK لدينا:

• [AM] وتر مشترك
• KÂM = HÂM لأن (AD] منصف CÂB و H نقطة من [AB] و K نقطة من [AC].

و منه AMH و AMK مثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات القائمة.

ب- لنا: AK = AH و MK = MH عناصر نظيرة في المثلثين المتقايسين AMH و AMK إذن (AM) هو الموسط العمودي لـ [HK] أي أن (HK) ⊥ (AM) و A و M نقطتان من Δ إذن (HK) ⊥ Δ.

4) لنا (BC) //' Δ و (BC) ⊥ Δ إذن Δ' ⊥ Δ. و Δ' ⊥ Δ إذن (NP) ⊥ Δ. و منه (NP) ⊥ (AM). و بهذا في المثلثين AMP و AMN لدينا:

• AMN = AMP = 90°
• MÂN = MÂP
• [AM] ضلع مشترك

إذن AMP و AMN متقايسان حسب الحالة الأولى من تقايس المثلثات العامة ينتج عن ذلك تقايس العناصر النظيرة مثنى مثنى إذن MN = MP وبما أن M ∈ (PN) فإن M منتصف [PN].

التمرين 1:

الخطوة 1: تحديد طبيعة المثلثين.

حسب الفرضية المنطقية، لدينا (AB) عمودي على (Ox) و (AC) عمودي على (Oy). إذن، المثلث OBA قائم الزاوية في B، والمثلث OAC قائم الزاوية في C.

الخطوة 2: البحث عن عناصر التقايس.

لنقارن بين المثلثين القائمين ΔOBA و ΔOAC:

• الوتر: الضلع [OA] هو الوتر في كلا المثلثين. إذن: OA = OA.
• زاوية حادة: من المعطيات، A نقطة من منصف الزاوية [Ox, Oy]. إذن: BÔA = CÔA.

الخطوة 3: الاستنتاج.

بما أن المثلثين OBA و OAC قائمان، ولهما نفس الوتر [OA]، وفيهما زاوية حادة متقايسة (BÔA = CÔA)، فإنهما متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة (وتر وزاوية حادة).

---

التمرين 2:

لنقارن بين المثلثين ΔIAC و ΔIBD:

• الضلع: من المعطيات، I هي منتصف [AB]. هذا يعني أن الضلع IA = IB.
• الزاوية المجاورة الأولى: لدينا المستقيم Δ موازٍ للمستقيم (AC). والمستقيم (AB) هو قاطع لهما. إذن، الزاويتان IÂC و IÊD هما زاويتان متبادلتان داخليا. وبالتالي IÂC = IÊD.
• الزاوية المجاورة الثانية: المستقيمان (AB) و (CD) يتقاطعان في النقطة I. إذن، الزاويتان AÎC و BÎD متقابلتان بالرأس. وبالتالي AÎC = BÎD.

إذن، المثلثان IAC و IBD متقايسان حسب حالة التقايس (زاوية-ضلع-زاوية).