1. إذا كانت النقطة \(I\) مركز الدائرة المحاطة بالمثلث \(ABC\)، فماذا تمثل النقطة \(I\) بالنسبة للمثلث؟
التفسير: مركز الدائرة المحاطة هو النقطة الوحيدة التي تبعد نفس المسافة عن الأضلاع الثلاثة، وهي نقطة تقاطع المنصفات.
2. ليكن \( [Ox) \) و \( [Oy) \) ضلعي زاوية. إذا كانت النقطة \( M \) تبعد \( 4cm \) عن المستقيم \( (Ox) \) وتبعد \( 4cm \) عن المستقيم \( (Oy) \)، فكم يوجد من موضع ممكن للنقطة \( M \)؟
التفسير: المستقيمان المتقاطعان يحددان 4 زوايا. في كل زاوية توجد نقطة تبعد مسافة معينة عن الضلعين. لذا هناك 4 نقاط (تقاطع المنصفين الداخليين والخارجيين).
3. في مثلث \( ABC \)، منصف الزاوية \( \widehat{A} \) يقطع \( [BC] \) في \( D \). هل \( D \) هي بالضرورة منتصف \( [BC] \)?
التفسير: في المثلث متقايس الضلعين، المنصف الصادر من القمة الرئيسية هو نفسه الموسط العمودي والارتفاع، لذا يمر بمنتصف القاعدة.
4. إذا كان \( d \) منصف زاوية \( \widehat{AOB} \)، و \( M \in d \). لتكن \( H \) المسقط العمودي لـ \( M \) على \( (OA) \). إذا كان \( MH = 5 \)، فما هو طول \( MK \) حيث \( K \) مسقط \( M \) على \( (OB) \)?
التفسير: حسب خاصية المنصف المباشرة: كل نقطة من المنصف تبعد نفس المسافة عن الضلعين، إذن \( MK = MH = 5 \).
5. منصفا زاويتين متجاورتين ومتكاملتين هما مستقيمان:
التفسير: إذا كان مجموع الزاويتين 180 درجة، فإن مجموع نصفيهما هو 90 درجة، مما يعني أن المنصفين متعامدان.
6. في مثلث \( ABC \)، إذا كانت \( I \) هي مركز الدائرة المحاطة، فإن الزاوية \( \widehat{BIC} \) تساوي:
التفسير: في المثلث \( BIC \)، مجموع الزوايا هو \( 180 = \widehat{BIC} + \frac{\widehat{B}}{2} + \frac{\widehat{C}}{2} \). وبما أن \( \frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2} = \frac{180-\widehat{A}}{2} = 90 - \frac{\widehat{A}}{2} \)، نجد النتيجة.
7. الخاصية العكسية لمنصف الزاوية تُستخدم لإثبات أن:
التفسير: الخاصية العكسية تنص على أنه إذا كانت نقطة متساوية البعد عن ضلعي زاوية، فهي تنتمي للمنصف.
8. إذا كان \( [Oz) \) منصف الزاوية \( \widehat{xOy} \) التي قيسها \( 60^\circ \)، و \( M \) نقطة من \( [Oz) \) حيث \( OM = 10 \). المسافة من \( M \) إلى \( (Ox) \) هي:
التفسير: يتكون مثلث قائم فيه الزاوية \( 30^\circ \) (نصف الـ 60). الضلع المقابل للزاوية \( 30^\circ \) يساوي نصف الوتر \( (10/2 = 5) \).
9. "منصف الزاوية هو مجموعة نقاط المستوي التي تبعد نفس المسافة عن ضلعيها" - هل هذه العبارة:
التفسير: هذا هو التعريف "المحلي الهندسي" (Lieu géométrique) لمنصف الزاوية.
10. في دائرة، منصف الزاوية المركزية التي تحصر قوساً \( AB \):
التفسير: المثلث \( OAB \) متقايس الضلعين (أنصاف أقطار)، لذا منصف زاوية الرأس \( O \) هو نفسه الموسط العمودي للقاعدة \( [AB] \).