تمارين متنوعة في الهندسة (إصدار معدل)

دفواراتي
زاوية ومنصفها
تمرين 5

نعتبر زاوية \( \left[OX,OY\right] \). ونقطة \(M\) من منصفها \([OZ]\). المستقيم المار من \(M\) والعمودي على \([OZ]\) يقطع \((OX)\) في \(A\) و \((OY)\) في \(B\).

  1. ما هي طبيعة المثلث \(OAB\)؟ علل إجابتك.
  2. المستقيم المار من \(M\) والموازي لـ \((OY)\) يقطع \((OX)\) في \(C\). بيّن أن كلاً من المثلثين \(OMC\) و \(AMC\) متقايس الضلعين ثم استنتج أن \(C\) هي منتصف \([OA]\).
  3. المستقيم المار من \(A\) والعمودي على \((OX)\) يتقاطع مع \((OY)\) في \(P\). بيّن أن \(P\) تنتمي إلى المنصف \([OZ]\) للزاوية \([OX,OY]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: في مثلث، إذا كان حامل أحد المنصفات هو نفسه حامل أحد الارتفاعات، فماذا يمكن أن نقول عن هذا المثلث؟

للسؤال 2: استخدم خاصية التوازي لإيجاد زوايا متقايسة. تذكر أن المثلث \(OAB\) متقايس الضلعين وأن زوايا القاعدة فيه متقايسة.

للسؤال 3: لإثبات أن \(P\) تنتمي للمنصف، يكفي إثبات أنها متساوية البعد عن ضلعي الزاوية. لاحظ أن هذا السؤال قد يحتوي على حالة خاصة أو خطأ في الصياغة.

📝 الطريقة

1) طبيعة المثلث OAB:
في المثلث \(OAB\)، المستقيم \((OZ)\) هو حامل لمنصف الزاوية الرئيسية \(\widehat{AOB}\). وهو أيضا عمودي على \([AB]\) (حسب المعطيات، العمودي على OZ يقطع...). إذن \((OZ)\) هو حامل للارتفاع الصادر من \(O\). مثلث فيه المنصف هو نفسه الارتفاع هو مثلث متقايس الضلعين. إذن \(OA=OB\) والمثلث \(OAB\) متقايس الضلعين في \(O\).

2) المثلثان OMC و AMC:
- المثلث OMC: لدينا \((MC) // (OB)\) (أي \((MC) // (OY)\)). و \((OZ)\) قاطع لهما. إذن \(\widehat{CMO} = \widehat{BOZ}\) (زوايا متبادلة داخليا). ولدينا \(\widehat{BOZ} = \widehat{COZ}\) (لأن \((OZ)\) منصف). إذن \(\widehat{CMO} = \widehat{COZ}\). وبالتالي المثلث \(OMC\) متقايس الضلعين في \(C\)، أي \(CM=CO\).
- المثلث AMC: بما أن \(OAB\) متقايس الضلعين، فإن \(\widehat{OAB} = \widehat{OBA}\). وبما أن \((MC) // (OB)\)، فإن \(\widehat{AMC} = \widehat{OBA}\) (زوايا متناظرة). إذن \(\widehat{AMC} = \widehat{OAB}\) (أو \(\widehat{CAM}\)). وبالتالي المثلث \(AMC\) متقايس الضلعين في \(C\)، أي \(CA=CM\).
- الاستنتاج: وجدنا أن \(CA=CM\) و \(CO=CM\). إذن \(CA=CO\). بما أن \(C\) تنتمي إلى \([OA]\)، فإن \(C\) هي منتصف \([OA]\).

3) انتماء P إلى المنصف:
لإثبات أن \(P\) تنتمي للمنصف \([OZ]\)، علينا إثبات أن \(P\) متساوية البعد عن \((OX)\) و \((OY)\).
- المسافة من \(P\) إلى \((OY)\) هي صفر، لأن \(P \in (OY)\).
- المسافة من \(P\) إلى \((OX)\) هي طول العمودي من \(P\) إلى \((OX)\). وبما أن \((AP) \perp (OX)\)، فالمسافة هي \(PA\).
- يجب أن يكون \(PA = 0\)، وهذا يعني \(P=A\). وهذا لا يحدث إلا إذا كانت الزاوية \([OX,OY]\) قائمة.

✅ الحل الكامل

1) طبيعة المثلث OAB:
في المثلثين \(OAM\) و \(OBM\):

  • \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (لأن \([OZ]\) منصف).
  • \([OM]\) ضلع مشترك.
  • \(\widehat{OMA} = \widehat{OMB} = 90^\circ\) (معطى).
إذن المثلثان \(OAM\) و \(OBM\) متقايسان (حسب حالة تقايس ز.ض.ز). ينتج عن ذلك أن \(OA = OB\).
إذن المثلث \(OAB\) متقايس الضلعين في \(O\).

2) إثبات وتقايس واستنتاج:
- بما أن \((MC) // (OY)\) و القاطع \((OZ)\)، فإن \(\widehat{MOC} = \widehat{OYM}\) (متبادلتان داخليا). لكن \(\widehat{MOC} = \widehat{XOM}\). وفي المثلث \(OAB\) المتقايس الضلعين، \(\widehat{XOM} = \widehat{YOM}\). إذن المثلث \(OMC\) متقايس الضلعين \(CM=CO\).
- وبنفس الطريقة، المثلث \(AMC\) متقايس الضلعين \(CA=CM\).
- نستنتج أن \(CO = CA\). وبما أن \(C \in [OA]\)، فإن \(C\) هي منتصف \([OA]\).

3) انتماء P إلى المنصف:
لدينا المثلث \(OAP\) قائم في \(A\). النقطة \(P\) هي تقاطع العمودي على \((OX)\) في \(A\) مع \((OY)\). لإثبات أن \(P\) على المنصف \([OZ]\)، نثبت أن \(P\) متساوية البعد عن \((OX)\) و \((OY)\). - بعدها عن \((OX)\) هو \(PA\). - بعدها عن \((OY)\) هو 0 لأنها تنتمي لـ \((OY)\). هذا غير ممكن إلا إذا كان \(PA=0\)، أي \(P=A\)، وهو ما يعني أن الزاوية قائمة.

يبدو أن هناك خطأ في نص السؤال 3. إذا كان المطلوب إثبات أن المنصف العمودي لـ [AP] يمر من O، فهذا صحيح.

مثلث متقايس الضلعين وتوازي
تمرين 6

\(ABC\) مثلث بحيث \(AC=AB\) و \(M\) نقطة من \([BC]\). المستقيم المار من \(M\) والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((AC)\) في \(D\).

  1. بيّن أن \(DM=DC\).
  2. عين النقطة \(I\) منتصف \([MC]\) وارسم المنصف \([AX)\) للزاوية \(\widehat{BAC}\). بيّن أن المستقيمين \((DI)\) و \((AX)\) متوازيان.
  3. المستقيم المار من \(C\) والموازي لـ \((MD)\) يقطع \((DI)\) في \(K\). بيّن أن \(I\) هي منتصف \([DK]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: استفد من أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين (زاويتا القاعدة متقايستان)، ثم استخدم التوازي \((DM) // (AB)\) لنقل إحدى الزوايا وإظهار أن المثلث \(DMC\) له زاويتان متقايستان.

للسؤال 2: في المثلث المتقايس الضلعين، المنصف هو أيضا ارتفاع. إذن \((AX) \perp (BC)\). حاول أن تبيّن أن \((DI)\) أيضا عمودي على \((BC)\).

للسؤال 3: لإثبات أن \(I\) منتصف \([DK]\)، أفضل طريقة هي إيجاد مثلثين متقايسين. قارن المثلثين \(DMI\) و \(KCI\).

📝 الطريقة

1) إثبات DM=DC:
بما أن \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).
لدينا \((DM) // (AB)\) والقاطع \((BC)\)، إذن \(\widehat{DMC} = \widehat{ABC}\) (زوايا متناظرة).
من العلاقتين، نستنتج أن \(\widehat{DMC} = \widehat{ACB}\) (أو \(\widehat{DCM}\)).
إذن المثلث \(DMC\) له زاويتان متقايستان، فهو متقايس الضلعين في \(D\). أي \(DM=DC\).

2) إثبات توازي (DI) و (AX):
في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين، المنصف \([AX)\) هو أيضا حامل للارتفاع الصادر من \(A\). إذن \((AX) \perp (BC)\).
في المثلث \(DMC\) الذي أثبتنا أنه متقايس الضلعين في \(D\)، لدينا \(I\) هي منتصف القاعدة \([MC]\).
في المثلث المتقايس الضلعين، الموسط المتعلق بالقاعدة هو أيضا حامل للارتفاع. إذن \((DI)\) هو حامل للارتفاع الصادر من \(D\)، أي \((DI) \perp (MC)\).
بما أن \(M\) و \(C\) نقطتان من \((BC)\)، فإن \((MC)\) هو نفسه المستقيم \((BC)\).
وجدنا أن \((DI) \perp (BC)\) و \((AX) \perp (BC)\). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان. إذن \((DI) // (AX)\).

3) إثبات أن I منتصف [DK]:
سنقارن المثلثين \(DMI\) و \(KCI\).
1. \(MI = CI\) لأن \(I\) منتصف \([MC]\).
2. \(\widehat{DIM} = \widehat{KIC}\) لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس.
3. بما أن \((MD) // (CK)\) والمستقيم \((DK)\) قاطع لهما، فإن \(\widehat{MDI} = \widehat{CKI}\) كزاويتين متبادلتين داخليًا.
لدينا الشروط الكافية لتقايس المثلثين حسب الحالة (ز.ج.ز أو AAS).
إذن المثلثان \(DMI\) و \(KCI\) متقايسان.
من التقايس نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة: \(DI = KI\).
بما أن \(I\) تنتمي للقطعة \([DK]\)، فإن \(I\) هي منتصف \([DK]\).

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن DM=DC:
بما أن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\)، فإن زاويتي القاعدة متقايستان: \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).
لدينا \((DM) // (AB)\) والمستقيم \((BC)\) قاطع لهما، إذن \(\widehat{DMC} = \widehat{ABC}\) كزاويتين متناظرتين.
من خلال التعويض، نحصل على \(\widehat{DMC} = \widehat{ACB}\).
في المثلث \(DMC\)، بما أن زاويتي القاعدة \(\widehat{DMC}\) و \(\widehat{DCM}\) متقايستان، فإنه متقايس الضلعين في \(D\).
إذن \(DM=DC\).

2) إثبات أن (DI) // (AX):
في المثلث \(ABC\) المتقايس الضلعين في \(A\)، منصف الزاوية \([AX)\) هو أيضا حامل للارتفاع المتعلق بالضلع \([BC]\). إذن \((AX) \perp (BC)\).
في المثلث \(DMC\) (الذي أثبتنا في السؤال 1 أنه متقايس الضلعين في \(D\)), المستقيم \((DI)\) يمر من الرأس \(D\) ومنتصف القاعدة \(I\). إذن \((DI)\) هو حامل الموسط وهو أيضا حامل الارتفاع. إذن \((DI) \perp (MC)\).
بما أن \(M,I,C\) كلها على المستقيم \((BC)\)، فإن \((DI) \perp (BC)\).
لدينا الآن \((DI) \perp (BC)\) و \((AX) \perp (BC)\). بما أن المستقيمين \((DI)\) و \((AX)\) عموديان على نفس المستقيم \((BC)\)، فهما متوازيان.

3) إثبات أن I منتصف [DK]:
سنقوم بمقارنة المثلثين \(DMI\) و \(KCI\):

  • \(MI = CI\) (لأن \(I\) هي منتصف القطعة \([MC]\)).
  • \(\widehat{DIM} = \widehat{KIC}\) (لأنهما متقابلتان بالرأس).
  • بما أن \((MD) // (CK)\) والمستقيم القاطع \((DK)\)، فإن \(\widehat{IDM} = \widehat{IKC}\) (لأنهما متبادلتان داخليًا).
إذن، المثلثان \(DMI\) و \(KCI\) متقايسان حسب حالة التقايس (AAS: زاويتان وضلع غير محصور بينهما).
من هذا التقايس، نستنتج أن الأضلاع المتناظرة متقايسة، ومنه \(DI = KI\).
بما أن النقطة \(I\) تنتمي للقطعة المستقيمة \([DK]\)، فإن \(I\) هي منتصف \([DK]\).

منصف زاوية وخواص التوازي
تمرين 7

نعتبر مثلثًا \(ABC\) بحيث \(AB > AC\). منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\) يقطع \([BC]\) في \(D\). المستقيم المار من \(B\) والموازي لـ \((AD)\) يقطع \((AC)\) في \(E\).

  1. بيّن أن \(AE=AB\).
  2. عين على \([AC]\) النقطة \(K\) بحيث \(AK=AE\). المستقيم \((BK)\) يقطع \((AD)\) في \(I\). بيّن أن \(I\) هي منتصف \([BK]\).
  3. بيّن أن \(\widehat{EBK}=90^\circ\). (ملاحظة: الرقم في الصورة الأصلية "905" تم تفسيره كخطأ مطبعي)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لإثبات \(AE=AB\)، يكفي إثبات أن المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين. استخدم التوازي \((BE)//(AD)\) مع القاطعين \((AB)\) و \((AE)\) لإيجاد علاقات بين الزوايا.

للسؤال 2: بما أن \(AK=AB\)، فالمثلث \(ABK\) متقايس الضلعين. ما هو دور \((AD)\) في هذا المثلث؟ إنه منصف زاوية الرأس. ما هي خصائص منصف زاوية الرأس في مثلث متقايس الضلعين؟

للسؤال 3: في المثلث \(EBK\)، لاحظ أن \(A\) هي منتصف \([EK]\). ما هي خاصية الموسط المتعلق بضلع في مثلث إذا كان طوله يساوي نصف طول ذلك الضلع؟

📝 الطريقة

1) إثبات AE=AB:
- لدينا \((BE) // (AD)\) والقاطع \((AB)\). إذن \(\widehat{EBA} = \widehat{BAD}\) (زوايا متبادلة داخليا).
- لدينا \((BE) // (AD)\) والقاطع \((CE)\). إذن \(\widehat{BEA} = \widehat{CAD}\) (زوايا متناظرة).
- بما أن \((AD)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\)، فإن \(\widehat{BAD} = \widehat{CAD}\).
- من الخطوات السابقة، نستنتج أن \(\widehat{EBA} = \widehat{BEA}\).
- إذن المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين في \(A\)، وبالتالي \(AE=AB\).

2) إثبات أن I منتصف [BK]:
- لدينا \(AK=AE\) (معطى) و \(AE=AB\) (من السؤال 1)، إذن \(AK=AB\).
- هذا يعني أن المثلث \(ABK\) متقايس الضلعين في \(A\).
- المستقيم \((AD)\) هو حامل لمنصف زاوية الرأس \(\widehat{BAK}\).
- في المثلث المتقايس الضلعين، منصف زاوية الرأس هو أيضا الموسط المتعلق بالقاعدة.
- إذن \((AD)\) هو حامل للموسط المتعلق بالضلع \([BK]\). بما أن \(I\) هي نقطة تقاطع \((AD)\) و \((BK)\)، فإن \(I\) هي منتصف القاعدة \([BK]\).

3) إثبات أن \(\widehat{EBK}=90^\circ\):
- من المعطيات، \(E, A, K\) هي نقاط على نفس المستقيم \((AC)\) و \(AK=AE\). إذن \(A\) هي منتصف القطعة \([EK]\).
- في المثلث \(EBK\)، المستقيم \((BA)\) هو الموسط المتعلق بالضلع \([EK]\).
- نعلم أن \(AB=AE=AK\). بما أن \(EK = EA+AK = 2 \times AE\)، فإن طول الموسط \(AB\) يساوي نصف طول الضلع \([EK]\) (\(AB = \frac{1}{2} EK\)).
- خاصية: إذا كان طول الموسط في مثلث يساوي نصف طول الضلع الموافق له، فإن المثلث قائم الزاوية في الرأس المقابل لذلك الضلع.
- إذن، المثلث \(EBK\) قائم الزاوية في \(B\).

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن \(AE=AB\):
بما أن \((BE) // (AD)\)، لدينا:

  • \(\widehat{ABE} = \widehat{BAD}\) (زاويتان متبادلتان داخليًا بالنسبة للقاطع (AB)).
  • \(\widehat{AEB} = \widehat{DAC}\) (زاويتان متناظرتان بالنسبة للقاطع (AE)).
وبما أن \((AD)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\)، فإن \(\widehat{BAD} = \widehat{DAC}\).
من كل هذا نستنتج أن \(\widehat{ABE} = \widehat{AEB}\).
إذن المثلث \(ABE\) متقايس الضلعين رأسه \(A\). وبالتالي \(AE=AB\).

2) إثبات أن I منتصف [BK]:
لدينا \(AK=AE\) من المعطيات، و \(AE=AB\) من السؤال السابق. إذن \(AK=AB\).
هذا يعني أن المثلث \(ABK\) متقايس الضلعين في \(A\).
المستقيم \((AD)\) هو حامل منصف زاوية رأسه \(\widehat{BAK}\). في المثلث المتقايس الضلعين، حامل منصف زاوية الرأس هو أيضا الموسط والارتفاع المتعلق بالقاعدة.
إذن \((AD)\) هو حامل الموسط المتعلق بالضلع \([BK]\). بما أن \(I = (AD) \cap (BK)\)، فإن \(I\) هي منتصف القطعة \([BK]\).

3) إثبات أن \(\widehat{EBK}=90^\circ\):
لدينا \(AE=AB\) و \(AK=AE\)، إذن \(AK=AB=AE\). بما أن النقط \(E, A, K\) على استقامة واحدة، فإن \(A\) هي منتصف القطعة \([EK]\).
في المثلث \(EBK\)، يمثل \([BA]\) الموسط المتعلق بالضلع \([EK]\).
طول هذا الموسط هو \(BA\)، وطول الضلع الموافق له هو \(EK = EA + AK = AB + AB = 2 \times AB\).
نلاحظ أن طول الموسط \([BA]\) يساوي نصف طول الضلع \([EK]\).
حسب الخاصية العكسية للموسط المتعلق بالوتر في المثلث القائم، فإن المثلث \(EBK\) قائم الزاوية في \(B\).
إذن، \(\widehat{EBK} = 90^\circ\).

مثلث قائم ومنصفات
تمرين 8

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\). منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\) يقطع \([AC]\) في \(D\). المستقيم المار من \(D\) والعمودي على \((BC)\) يقطع \((BC)\) في \(E\) و \((AB)\) في \(F\).

  1. أ) بيّن أن \(DA=DE\).
    ب) قارن المثلثين \(ADF\) و \(CDE\). ماذا تستنتج بالنسبة إلى بقية عناصر المثلثين؟
  2. قارن المثلثين \(ABC\) و \(FBE\) ثم بيّن أن \((BD)\) هو الموسط العمودي لـ \([CF]\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1أ: استخدم الخاصية الأساسية للمنصف: "كل نقطة من منصف زاوية هي متساوية البعد عن ضلعي هذه الزاوية".

للسؤال 1ب: للمقارنة بين المثلثين \(ADF\) و \(CDE\)، ابحث عن زوايا متقايسة (قائمة، متقابلة بالرأس) وأضلاع متقايسة (باستخدام نتيجة 1أ).

للسؤال 2: لإثبات أن \((BD)\) موسط عمودي لـ \([CF]\)، يجب إثبات أن نقطتين منه (مثلا B و D) متساويتا البعد عن طرفي القطعة \(C\) و \(F\). أي أثبت أن \(BC=BF\) و \(DC=DF\).

📝 الطريقة

1أ) إثبات أن DA=DE:
- النقطة \(D\) تنتمي إلى منصف الزاوية \(\widehat{ABC}\).
- بعد النقطة \(D\) عن الضلع \((BA)\) هو الطول \(DA\) لأن \((DA) \perp (BA)\).
- بعد النقطة \(D\) عن الضلع \((BC)\) هو الطول \(DE\) لأن \((DE) \perp (BC)\).
- حسب خاصية المنصف، فإن بعد أي نقطة منه عن ضلعي الزاوية متساوٍ. إذن \(DA=DE\).

1ب) مقارنة المثلثين ADF و CDE:
- في المثلثين \(ADF\) و \(CDE\):
- \(\widehat{DAF} = 90^\circ\) و \(\widehat{CED} = 90^\circ\).
- \(DA=DE\) (من السؤال 1أ).
- \(\widehat{ADF}\) و \(\widehat{CDE}\) متقابلتان بالرأس، إذن \(\widehat{ADF} = \widehat{CDE}\).
- إذن المثلثان متقايسان حسب حالة (AAS: زاويتان وضلع غير محصور بينهما). - الاستنتاج: بقية العناصر متقايسة، أي \(DF=DC\) و \(AF=CE\).

2) بيان الموسط العمودي:
- لإثبات أن \((BD)\) هو الموسط العمودي لـ \([CF]\)، نثبت أن B و D متساويتا البعد عن C و F. - بالنسبة للنقطة D: من نتيجة 1ب، لدينا \(DC=DF\). إذن D تنتمي للموسط العمودي. - بالنسبة للنقطة B: نقارن المثلثين \(BAD\) و \(BED\).

  • \(\widehat{BAD} = \widehat{BED} = 90^\circ\).
  • \(\widehat{ABD} = \widehat{EBD}\) لأن \((BD)\) منصف.
  • \([BD]\) ضلع مشترك.
إذن المثلثان \(BAD\) و \(BED\) متقايسان (حالة AAS). وينتج عن ذلك أن \(BA=BE\).
الآن، لنحسب طولي \(BF\) و \(BC\). لدينا \(BF = BA + AF\) و \(BC = BE + EC\).
بما أن \(BA=BE\) و \(AF=EC\) (من 1ب)، فإن \(BA+AF = BE+EC\). إذن \(BF=BC\).
إذن النقطة B متساوية البعد عن C و F.
بما أن B و D تنتميان للموسط العمودي لـ \([CF]\)، فإن \((BD)\) هو الموسط العمودي.

✅ الحل الكامل

1أ) إثبات أن \(DA=DE\):
النقطة \(D\) تنتمي لمنصف الزاوية \(\widehat{ABC}\). المسافة من نقطة على منصف زاوية إلى ضلعيها تكون متساوية.

  • المسافة من \(D\) إلى \((AB)\) هي \(DA\) لأن \((AC) \perp (AB)\).
  • المسافة من \(D\) إلى \((BC)\) هي \(DE\) لأن \((DE) \perp (BC)\).
إذن \(DA=DE\).

1ب) مقارنة المثلثين \(ADF\) و \(CDE\):
لنقارن المثلثين القائمين \(ADF\) (قائم في A) و \(CDE\) (قائم في E):

  • \(\widehat{FAD} = \widehat{CED} = 90^\circ\).
  • \(DA=DE\) (من السؤال السابق).
  • \(\widehat{ADF} = \widehat{CDE}\) (لأنهما متقابلتان بالرأس).
إذن، المثلثان \(ADF\) و \(CDE\) متقايسان حسب حالة تقايس (AAS).
الاستنتاج: بقية العناصر متقايسة نظير بنظير. أي: \(DF=DC\) و \(AF=CE\).

2) بيان أن \((BD)\) هو الموسط العمودي لـ \([CF]\):
الموسط العمودي لقطعة مستقيمة هو مجموعة النقاط المتساوية البعد عن طرفيها. لنثبت ذلك للنقطتين B و D:

  1. النقطة D: من نتيجة السؤال (1ب)، أثبتنا أن \(DC=DF\). إذن \(D\) تنتمي إلى الموسط العمودي لـ \([CF]\).
  2. النقطة B: نقارن المثلثين \(BAD\) و \(BED\). هما قائمان في A و E، \(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) و \([BD]\) ضلع مشترك. إذن المثلثان \(BAD\) و \(BED\) متقايسان. ينتج عن ذلك أن \(BA=BE\).
    نعلم أن \(BF = BA + AF\) و \(BC = BE + EC\). بما أن \(BA=BE\) و \(AF=EC\) (من 1ب)، فإننا نستنتج أن \(BF = BC\). إذن النقطة B متساوية البعد عن C و F.
بما أن \(B\) و \(D\) نقطتان مختلفتان وكلاهما ينتمي إلى الموسط العمودي لـ \([CF]\)، فإن المستقيم \((BD)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([CF]\).