تطابق المثلثات

📐 مثلثات قائمة ومنصف زاوية 🧩 التمرين 8 من 11 📝 تصحيح على ثلاث مراحل
التمرين 8
المسافة من نقطة إلى ضلعي زاوية
المعطيات كما وردت:

ABC مثلث قائم الزاوية في A. منصف الزاوية ABC يقطع [AC] في D. المستقيم المار من D والعمودي على (BC) يقطع (AB) في F.

1 أ) بيّن أن DA = DE، مع أن E غير معرّفة في النص.
1 ب) قارن المثلثين ADF وCDE. ماذا تستنتج؟
2) قارن المثلثين ABC وBEF. هل (??) محور تناظر [CF]؟
النقطة E واسم محور التناظر مفقودان. يمكن فقط تفسير E على أنها المسقط العمودي لـD على (BC)؛ أمّا بقية السؤال فلا تكفيه المعطيات.
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

النتيجة المؤكدة الوحيدة تأتي من خاصية: كل نقطة من منصف زاوية تكون متساوية البعد عن ضلعيها.

المسافة من D إلى (BA) هي DA لأن DA ⟂ BA. وإذا كانت E المسقط على (BC)، فالمسافة الثانية هي DE.

📝 منهجية الحل

نفسّر E تفسيراً معلناً ومحدوداً: قدم العمود النازل من D على (BC).

نطبق خاصية تساوي المسافتين إلى ضلعي الزاوية. ولا نزعم تطابق مثلثات ما لم تتوافر جميع شروط حالة التطابق.

✅ الحل النهائي الكامل

نفترض فقط أن E هي قدم العمود من D على (BC). لدينا D ∈ [AC] وAC ⟂ AB، إذن DA ⟂ AB. كذلك DE ⟂ BC.

ولأن D تقع على منصف الزاوية ABC، فهي متساوية البعد عن ضلعيها:

\[d(D,BA)=d(D,BC)\]
DA = DE.
لا يمكن الجزم بتطابق ADF وCDE، ولا مقارنة ABC وBEF على نحو يعطي النتيجة المطلوبة، لأن تعريف E والجزء الأخير من النص ناقصان. يلزم الرجوع إلى الرسم أو الوثيقة الأصلية.
المصدر المذكور في الملف المجمّع: Triangles isometriques.pdf