تطابق المثلثات - التمرين 5

التمرين 5

منصف زاوية ومستقيم عمودي عليه

المعطيات:

نعتبر الزاوية XOY ونقطة M من منصفها (OZ). المستقيم المار من M والعمودي على (OZ) يقطع (OX) في A و(OY) في B.

1) ما طبيعة المثلث OAB؟ علّل.

2) المستقيم المار من M والموازي لـ(OY) يقطع (OX) في C. بيّن أن كلاً من OMC وAMC متساوي الساقين، ثم استنتج أن C منتصف [OA].

3) المستقيم المار من A والعمودي على (OX) يقطع (OZ) في P. بيّن أن P تنتمي إلى (OZ).

ملاحظة: السؤال 3 يطلب نتيجة موجودة في تعريف P نفسه؛ لذلك لا يحتاج إلى برهان إضافي.

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

المحور (OZ) يحوّل الضلع (OX) إلى (OY). والمستقيم (AB) عمودي عليه في نقطة منه.

في السؤال 2، تتبّع الزوايا الناتجة عن MC ∥ OY. لإثبات أن C منتصف [OA] يلزم الوصول إلى OC = CA، لا إلى مساواة لا تتضمن C.

📝 منهجية الحل

نستعمل التناظر المحوري بالنسبة إلى (OZ) لإثبات OA = OB.

بعد ذلك نثبت ∠MOC = ∠OMC، فنحصل على OC = CM. ونثبت أيضاً ∠CAM = ∠AMC، فنحصل على CA = CM.

نجمع المساواتين: OC = CM = CA.

✅ الحل النهائي الكامل

بالتناظر المحوري بالنسبة إلى منصف الزاوية (OZ)، تتناظر النقطتان A وB، ومنه:

\[OA=OB\]

إذن المثلث OAB متساوي الساقين في O.

بما أن MC ∥ OY وOZ منصف الزاوية:

\[ngle MOC=ngle MOY=ngle OMC\]

إذن OC = CM، أي إن OMC متساوي الساقين في C.

ومن جهة أخرى، لأن A,C,O على استقامة واحدة وA,M,B على استقامة واحدة، ومع التوازي MC ∥ OB نحصل على ∠CAM = ∠AMC. إذن CA = CM، أي إن AMC متساوي الساقين في C.

\[OC=CM=CA\Rightarrow OC=CA\]

وبما أن C ∈ [OA]، فإن C منتصف [OA].

السؤال 3: حسب الإنشاء، P هي نقطة تقاطع المستقيم المرسوم مع (OZ)، وبالتالي P ∈ (OZ) مباشرة.

المصدر المذكور في الملف المجمّع: Triangles isometriques2023_4.pdf