مثلث \(ABC\) حيث \(AB = AC\) و \(M\) منتصف \([BC]\).
المطلوب: قارن المثلثين \(ABM\) و \(ACM\).
💡 مساعدة
• الحالة الثالثة: تساوي ثلاثة أضلاع (ض.ض.ض)
• المعطى: \(AB = AC\) (المثلث متقايس الضلعين)
• \(M\) منتصف \([BC]\) يعني \(BM = CM\)
• ابحث عن الضلع المشترك بين المثلثين
• نحتاج لإثبات تساوي الأضلاع الثلاثة في كلا المثلثين
📋 المنهجية
الخطوات:
1. استخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين
2. استخدم خاصية المنتصف
3. حدد الضلع المشترك
4. طبق الحالة الثالثة (ض.ض.ض)
الضلع الثاني:\(BM = CM\) (لأن \(M\) منتصف \([BC]\))
الضلع المشترك:\([AM]\) ضلع مشترك بين المثلثين
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثالثة (تساوي ثلاثة أضلاع)
التمرين 2: التناظر المركزي والموسط
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABC\) مثلث و \([AM]\) موسطه (أي \(M\) منتصف \([BC]\)). ابنِ النقطة \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(M\).
المطلوب: قارن المثلثين \(ABC\) و \(DBC\).
💡 مساعدة
• \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(M\) يعني أن \(M\) منتصف \([AD]\)
• التناظر المركزي يحفظ المسافات
• استخدم خاصية التناظر المركزي: \(AB = MD\) و \(AC = MB\)... انتبه!
• في الحقيقة: \(M\) منتصف \([AD]\) و \(M\) منتصف \([BC]\)
• الضلع \([BC]\) مشترك بين المثلثين
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. استخدم خاصية التناظر المركزي
2. أثبت أن \(ABDC\) رباعي له قطران ينصف كل منهما الآخر
3. استنتج أنه متوازي أضلاع
4. استخدم خصائص متوازي الأضلاع لإثبات التقايس
✅ الحل الكامل
تحليل أولي:
• \(D\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(M\) ⟹ \(M\) منتصف \([AD]\)
• \(M\) منتصف \([BC]\) (معطى)
• إذن الرباعي \(ABDC\) قطراه ينصف كل منهما الآخر ⟹ \(ABDC\) متوازي أضلاع
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثالثة (ثلاثة أضلاع)
التمرين 3: الدائرة والوتر
📐 المعطيات والمطلوب:
\((C)\) دائرة مركزها \(O\) و \([AB]\) وتر فيها. لتكن \(I\) منتصف \([AB]\).
المطلوب: قارن المثلثين \(OAI\) و \(OBI\).
💡 مساعدة
• في الدائرة: جميع الأنصاف من المركز إلى المحيط متساوية
• \(OA = OB\) (أنصاف أقطار)
• \(I\) منتصف \([AB]\) يعني \(AI = BI\)
• الضلع \(OI\) مشترك بين المثلثين
• نحتاج لإثبات تساوي الأضلاع الثلاثة
📋 المنهجية
خطوات الحل:
1. استخدم خاصية أنصاف أقطار الدائرة
2. استخدم خاصية المنتصف
3. حدد الضلع المشترك
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(OAI\) و \(OBI\) لدينا:
الضلع الأول:\(OA = OB\) (أنصاف أقطار في نفس الدائرة)
الضلع الثاني:\(AI = BI\) (لأن \(I\) منتصف \([AB]\))
• التناظر المحوري يحفظ المسافات
• المثلث متقايس الضلعين: \(AB = AC\)
• من التناظر المحوري: \(AB = DB\) و \(AC = DC\)
• الضلع \([BC]\) مشترك (يقع على محور التناظر)
• استنتج العلاقات بين الأضلاع
📋 المنهجية
للبرهان:
1. استخدم خاصية التناظر المحوري
2. استخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين
3. أثبت تساوي الأضلاع الثلاثة
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
من التناظر المحوري بالنسبة لـ \((BC)\):
• \(D\) مناظرة \(A\) ⟹ \(AB = DB\) و \(AC = DC\)
من المعطيات:
• المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\) ⟹ \(AB = AC\)
إذن:
• \(AB = AC = DB = DC\) (الأضلاع الأربعة متساوية)
في المثلثين \(ABC\) و \(DBC\) لدينا:
الضلع الأول:\(AB = DB\)
الضلع الثاني:\(AC = DC\)
الضلع المشترك:\([BC]\) ضلع مشترك
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثالثة (3 أضلاع)
التمرين 5: الدائرة والقطر
📐 المعطيات والمطلوب:
دائرة مركزها \(O\) و \([EF]\) قطر لها. عين نقطتين \(G\) و \(H\) على الدائرة بحيث \(EG = EH\).
المطلوب: قارن المثلثين \(EOG\) و \(EOH\).
💡 مساعدة
• المعطى: \(EG = EH\)
• \(G\) و \(H\) نقطتان على الدائرة ⟹ \(OG = OH\) (أنصاف أقطار)
• \([EF]\) قطر ⟹ \(E\) على الدائرة و \(O\) المركز
• الضلع \([EO]\) مشترك بين المثلثين
• نحتاج 3 أضلاع متساوية
📋 المنهجية
خطوات الإثبات:
1. استخدم المعطى \(EG = EH\)
2. استخدم خاصية أنصاف أقطار الدائرة
3. حدد الضلع المشترك
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(EOG\) و \(EOH\) لدينا:
الضلع الأول:\(EG = EH\) (معطى)
الضلع الثاني:\(OG = OH\) (أنصاف أقطار في نفس الدائرة)
الضلع المشترك:\([EO]\) ضلع مشترك بين المثلثين
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثالثة
التمرين 6: متوازي الأضلاع والقطر
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABCD\) متوازي أضلاع.
المطلوب: قارن المثلثين \(ABD\) و \(CDB\).
💡 مساعدة
• في متوازي الأضلاع: الأضلاع المتقابلة متساوية
• \(AB = CD\) و \(AD = BC\)
• القطر \([BD]\) مشترك بين المثلثين
• هذه خاصية أساسية لمتوازي الأضلاع
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. استخدم خصائص متوازي الأضلاع
2. حدد الأضلاع المتقابلة المتساوية
3. حدد الضلع المشترك (القطر)
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(ABD\) و \(CDB\) لدينا:
الضلع الأول:\(AB = CD\) (أضلاع متقابلة في متوازي أضلاع)
الضلع الثاني:\(AD = BC\) (أضلاع متقابلة في متوازي أضلاع)
الضلع المشترك:\([BD]\) ضلع مشترك بين المثلثين
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثالثة ملاحظة: هذه خاصية أساسية: القطر يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متقايسين
التمرين 7: المنصف والنقاط المتساوية
📐 المعطيات والمطلوب:
مثلث \(ABC\) وعيّنا \(D\) من \([BC]\) بحيث \(CD = CA\). لتكن \(I\) نقطة من منصف الزاوية \(\widehat{C}\) بحيث \(ID = IA\).
المطلوب: قارن المثلثين \(ICD\) و \(ICA\).
💡 مساعدة
• المعطيات: \(CD = CA\) و \(ID = IA\)
• الضلع \([IC]\) مشترك بين المثلثين
• لدينا بالفعل تساوي الأضلاع الثلاثة!
• المنصف هنا معلومة إضافية (قد تكون مفيدة لأسئلة لاحقة)
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. استخدم المعطيات مباشرة
2. حدد الضلع المشترك
3. تحقق من تساوي الأضلاع الثلاثة
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(ICD\) و \(ICA\) لدينا:
الضلع الأول:\(CD = CA\) (معطى)
الضلع الثاني:\(ID = IA\) (معطى)
الضلع المشترك:\([IC]\) ضلع مشترك بين المثلثين
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثالثة
التمرين 8: المثلث القائم والتناظر المركزي
📐 المعطيات والمطلوب:
مثلث \(OAB\) قائم في \(A\). عيّن \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\).
المطلوب: قارن المثلثين \(OAB\) و \(OAC\).
💡 مساعدة
• \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\) ⟹ \(AB = AC\) و \(A\) منتصف \([BC]\)
• المثلث قائم في \(A\): \(\widehat{OAB} = 90°\) و \(\widehat{OAC} = 90°\)
• الضلع \([OA]\) مشترك
• كلا المثلثين قائمان في \(A\) ولهما نفس الوتر من \(O\)
📋 المنهجية
للبرهان:
1. استخدم خاصية التناظر المركزي
2. استخدم كون المثلثين قائمين
3. استنتج تساوي الأوتار
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
من التناظر المركزي:
• \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\) ⟹ \(AB = AC\)
من كون المثلث قائماً:
• المثلث \(OAB\) قائم في \(A\) و المثلث \(OAC\) قائم في \(A\) (بالتناظر)
• في المثلثين \(OAB\) و \(OAC\): الضلع \([OA]\) مشترك، و \(AB = AC\)، والزاويتان \(\widehat{OAB}\) و \(\widehat{OAC}\) قائمتان (متقايستان)
• إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما)، ومنه \(OB = OC\)
في المثلثين \(OAB\) و \(OAC\) لدينا:
الضلع المشترك:\([OA]\) ضلع مشترك
الضلع الثاني:\(AB = AC\) (بالتناظر)
الضلع الثالث:\(OB = OC\) (نتيجة تقايس المثلثين)
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان لتساوي أضلاعهما الثلاثة
التمرين 9: المربع والدائرة المحاطة
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABCD\) مربع و \(O\) منتصف \([AB]\). الدائرة التي قطرها \([AB]\) تماس أحد أضلاع المربع في \(M\).
المطلوب: قارن المثلثين \(OAD\) و \(OMD\).
💡 مساعدة
• الدائرة قطرها \([AB]\) ومركزها \(O\)
• \(OA = OM\) (أنصاف أقطار)
• خاصية المماسات: المماسان المنطلقان من نقطة خارج الدائرة متساويان
• \(DA\) و \(DM\) مماسان للدائرة من النقطة \(D\)
• الضلع \([OD]\) مشترك
📋 المنهجية
خطوات الحل:
1. استخدم خاصية نصف القطر
2. استخدم خاصية المماسات
3. حدد الضلع المشترك
4. طبق الحالة الثالثة
✅ الحل الكامل
تحليل الوضعية:
• الدائرة مركزها \(O\) (منتصف \([AB]\)) ونصف قطرها \(OA = OM\)
• المماسان من نقطة خارج الدائرة متساويان
• \(DA\) و \(DM\) مماسان للدائرة من النقطة \(D\) ⟹ \(DA = DM\)
في المثلثين \(OAD\) و \(OMD\) لدينا:
الضلع الأول:\(OA = OM\) (أنصاف أقطار)
الضلع الثاني:\(AD = MD\) (مماسان من نفس النقطة \(D\))
الضلع المشترك:\([OD]\) ضلع مشترك
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثالثة
التمرين 10: المربع والنقاط المتساوية البعد
📐 المعطيات والمطلوب:
\(ABCD\) مربع. عيّنا نقاطاً \(E, F, G, H\) على الأضلاع \([AB], [BC], [CD], [DA]\) على التوالي بحيث \(AE = BF = CG = DH\).
المطلوب: بيّن أن المثلثات \(EBF\), \(FCG\), \(GDH\), \(HAE\) متقايسة.
💡 مساعدة
• في المربع: جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا قائمة
• \(AE = BF = CG = DH\)
• إذا كان ضلع المربع = \(a\)، فإن: \(EB = FC = GD = HA = a - AE\)
• جميع المثلثات قائمة الزاوية
• يمكن استخدام الحالة الثانية (ض.ز.ض) أو الثالثة
📋 المنهجية
للبرهان:
1. استخدم خصائص المربع
2. أثبت تساوي الأضلاع المتبقية
3. قارن مثلثين متجاورين باستخدام الحالة الثانية
4. استنتج تقايس جميع المثلثات
✅ الحل الكامل
تحليل أولي:
• بما أن \(ABCD\) مربع، فإن: \(AB = BC = CD = DA = a\) (نسمي طول الضلع \(a\))
• بما أن \(AE = BF = CG = DH\)، فإن القطع المتبقية متساوية: \(EB = a - AE = FC = GD = HA\)
مقارنة مثلثين متجاورين (مثلاً \(EBF\) و \(FCG\)):
في المثلثين \(EBF\) و \(FCG\):