1. في معين $ABCD$، القطر $[AC]$ يقسمه لمثلثين $ABC$ و $ADC$. هما متقايسان بالحالة الثالثة لأن:
الإصلاح: في المعين $AB=AD$ و $CB=CD$، ومع الضلع المشترك $AC$ تتوفر شروط SSS.
2. إذا كان $ABC$ مثلثاً متقايس الضلعين في $A$، و $M$ منتصف $[BC]$. المثلثان $ABM$ و $ACM$ يتقايسان بـ SSS لأن:
الإصلاح: منتصف الضلع يعطينا $MB=MC$، والتعريف يعطينا $AB=AC$، والضلع الثالث مشترك.
3. في دائرة مركزها $O$، إذا كان الوتران $[AB]$ و $[CD]$ متقايسين، فإن المثلثين $OAB$ و $OCD$ يتقايسان بـ:
الإصلاح: $OA=OB=OC=OD$ لأنها أنصاف أقطار، و $AB=CD$ معطى، فتطبق حالة SSS.
4. في طائرة ورقية هندسية (Kite) $ABCD$ حيث $AB=AD$ و $CB=CD$. القطر $[AC]$ يضمن تقايس المثلثين $ABC$ و $ADC$ حسب:
الإصلاح: المعطيات توفر زوجين من الأضلاع المتقايسة والقطر المشترك هو الضلع الثالث.
5. النتيجة المباشرة لتقايس مثلثين بالحالة الثالثة هي:
الإصلاح: إذا تساوت الأضلاع، فإن الزوايا المقابلة لها في المثلثين تكون متساوية بالضرورة.
6. إذا علمنا أن $AB=DE$ و $BC=EF$ ومحيط المثلثين متساوٍ، هل يتقايسان؟
الإصلاح: المحيط هو مجموع الأضلاع؛ إذا تساوى ضلعان والمجموع، فالضلع الثالث $AC = DF$ حتماً.
7. في الشكل "ساعة رملية" حيث $O$ منتصف $[AD]$ و$[BC]$، هل يتقايس $OAB$ و $ODC$ بـ SSS؟
الإصلاح: منتصف القطع يعطينا ضلعين فقط ($OA=OD$ و $OB=OC$). الضلع الثالث $AB$ و $CD$ غير مضمون تقايسهما إلا إذا توفرت معطيات أخرى.
8. لبناء مثلثين متقايسين باستخدام الفرجار فقط، نحن نعتمد على الحالة:
الإصلاح: الفرجار يقيس المسافات (الأطوال)، لذا فإن نقل الأطوال الثلاثة يضمن التقايس حسب SSS.
9. في مكعب، المثلثات المتكونة من ثلاثة رؤوس متجاورة تكون:
الإصلاح: تماثل المكعب يجعل كل المثلثات المتكونة من أضلاع الوجوه وأقطارها متطابقة أضلاعاً.
10. لماذا تسمى الحالة الثالثة "حالة الصلابة" في الهندسة المعمارية؟
الإصلاح: المثلث هو الشكل الوحيد الذي إذا تحددت أطوال أضلاعه، أصبحت زواياه ثابتة ولا يتحرك، عكس المربع مثلاً.