1. في شكل مكوّن من دائرتين متقاطعتين في $A$ و $B$. لتكن $O$ و $O'$ مركزاهما. المثلثان $OAO'$ و $OBO'$ يتقايسان بـ SSS لأن:
الإصلاح: أنصاف أقطار الدائرة الواحدة متساوية، والضلع الواصل بين المركزين هو ضلع مشترك للمثلثين العلوي والسفلي.
2. ليكن $ABC$ مثلثاً. نبني خارجاً المثلثين $ABD$ و $ACE$ المتقايسي الأضلاع. إذا علمنا أن $AB=AC$، فبأي حالة يتقايس المثلثان $ADC$ و $AEB$؟
الإصلاح: بما أن $AB=AC$ والمثلثات الخارجية متقايسة الأضلاع، فإن $AD=AB=AC=AE$. الضلع الثالث يُستنتج من تساوي الزوايا (الحالة الثانية تؤدي للثالثة).
3. في رباعي أضلاع $ABCD$، إذا كان $AB=CD$ و $BC=AD$. القطر $[BD]$ يثبت التقايس. ماذا نستنتج "هندسياً" من تقايس المثلثين بـ SSS؟
الإصلاح: تقايس المثلثين بـ SSS يؤدي لتقايس الزوايا المتناظرة، وهو البرهان الرسمي لخصائص متوازي الأضلاع.
4. لتكن $A, B, C, D$ أربع نقاط من دائرة مرتبة بهذا الترتيب. إذا كان القوس $AB$ يساوي القوس $CD$. المثلثان $ABC$ و $DCB$ يتقايسان بـ SSS لأن:
الإصلاح: تساوي الأقواس يضمن تساوي الأوتار المقابلة لها. وبإضافة القوس المشترك $BC$ للقوسين المتساويين، نحصل على وترين طويلين متساويين $AC=DB$.
5. في هرم منتظم قاعدته مربعة وقمته $S$. كل المثلثات الجانبية (مثل $SAB$ و $SBC$) متقايسة بـ SSS لأن:
الإصلاح: الهرم المنتظم يعني أن كل الحواف المنطلقة من الرأس متساوية، وبما أن القاعدة مربعة، فالأضلاع السفلية متساوية أيضاً.
6. عند استخدام "المساطر الثلاث" (تثبيت 3 أطوال) لبناء هيكل، لماذا لا يهتز المثلث عكس المربع؟
الإصلاح: المثلث هو الشكل الوحيد "غير القابل للتشوه" (Rigid)، لأن حالة SSS تحدد الزوايا بشكل فريد ووحيد.
7. إذا كان المثلثان $ABC$ و $DEF$ متقايسي الأضلاع ولهما نفس المساحة، فهما متقايسان بـ SSS:
الإصلاح: في المثلث متقايس الأضلاع، الضلع هو المتغير الوحيد المتحكم في المساحة، لذا تساويهما يفرض SSS.
8. في متوازي أضلاع $ABCD$، لتكن $I$ منتصف $[AC]$. المثلثان $ABI$ و $CDI$ يتقايسان بـ SSS إذا كان:
الإصلاح: في متوازي الأضلاع العادي، $AI=IC$ و $AB=CD$، لكن $BI$ لا يساوي $DI$ إلا إذا كان الشكل مستطيلاً أو معيناً.
9. لإثبات تقايس مثلثين بـ SSS في نظام إحداثيات، نستخدم:
الإصلاح: الحالة الثالثة تتعامل حصرياً مع الأطوال، لذا حساب المسافات هو البرهان الرقمي لـ SSS.
10. أصعب معطى "مخفي" في SSS هو عندما يكون الضلع الثالث:
الإصلاح: كما في سؤال الدائرة (4)، تساوي الأضلاع المركبة هو قمة التحدي في الحالة الثالثة.