تمرين في الهندسة

دفواراتي
دائرة وتقايس المثلثات
1

لتكن دائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(O\). عيّن عليها نقطتين \(B\) و \(C\) غير متقابلتين قطريا. \(M\) نقطة من \([OB]\) و \(N\) نقطة من \([OC]\) بحيث \(OM = ON\).

  1. أثبت تقايس المثلثين \(OBN\) و \(OCM\).
  2. بيّن أنّ \(NB = MC\).
  3. لتكن \(I\) نقطة تقاطع \((BN)\) و \((CM)\). بيّن أنّ \(\widehat{IMB} = \widehat{INC}\).

  4. أ) قارن المثلثين \(IBM\) و \(ICN\).

    ب) بيّن أنّ \((OI) \perp (BC)\).

  5. \((OI)\) يقطع \((\mathcal{C})\) في \(E\). قارن المثلثين \(OEC\) و \(OEB\).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للسؤال 1: لمقارنة المثلثين \(OBN\) و \(OCM\)، ابحث عن ضلعين متقايسين وزاوية محصورة بينهما. ما العلاقة بين \(OB\) و \(OC\)؟ وما هي الزاوية المشتركة؟

للسؤال 3: الزاويتان \(\widehat{IMB}\) و \(\widehat{INC}\) هما زاويتان متكاملتان لزاويتين أخريين. استخدم نتيجة التقايس من السؤال الأول لإيجاد علاقة بين هاتين الزاويتين.

للسؤال 4: لإثبات التعامد، أثبت أن \((OI)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\). للقيام بذلك، أثبت أن \(O\) و \(I\) متساويتا البعد عن \(B\) و \(C\).

للسؤال 5: لمقارنة المثلثين \(OEC\) و \(OEB\)، لديك ضلع مشترك وأضلاع أخرى متقايسة لأنها أشعة في الدائرة. استخدم نتيجة السؤال 4ب لإيجاد علاقة بين \(EC\) و \(EB\).

📝 الطريقة

1) تقايس المثلثين \(OBN\) و \(OCM\):
نطبق حالة "ضلع-زاوية-ضلع" (SAS):

  • الضلع: \(OB = OC\) (شعاعان في الدائرة).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{BOC}\) هي زاوية مشتركة.
  • الضلع: \(ON = OM\) (معطى).
إذن المثلثان متقايسان.

3) إثبات أن \(\widehat{IMB} = \widehat{INC}\):
من تقايس السؤال 1، نستنتج أن \(\widehat{ONB} = \widehat{OMC}\).
الزاوية \(\widehat{INC}\) مكملة للزاوية \(\widehat{ONB}\) (مجموعهما 180°).
الزاوية \(\widehat{IMB}\) مكملة للزاوية \(\widehat{OMC}\) (مجموعهما 180°).
بما أن \(\widehat{ONB} = \widehat{OMC}\)، فإن مكملاتهما متساوية. إذن \(\widehat{INC} = \widehat{IMB}\).

4أ) مقارنة المثلثين \(IBM\) و \(ICN\):
نطبق حالة "زاوية-ضلع-زاوية" (ASA):

  • الزاوية: \(\widehat{MBI} = \widehat{NCI}\) (نتيجة من تقايس السؤال 1).
  • الضلع: \(BM = OB - OM\) و \(CN = OC - ON\). بما أن \(OB=OC\) و \(OM=ON\)، فإن \(BM = CN\).
  • الزاوية: \(\widehat{BMI} = \widehat{CNI}\) (نتيجة من السؤال 3).
إذن المثلثان متقايسان.

5) مقارنة المثلثين \(OEC\) و \(OEB\):
من السؤال 4ب، نعلم أن \((OI)\) هو الموسط العمودي لـ \([BC]\). بما أن \(E\) تنتمي لـ \((OI)\)، فإن \(E\) متساوية البعد عن \(B\) و \(C\)، أي \(EB = EC\).
الآن نقارن المثلثين \(OEB\) و \(OEC\) بحالة "ضلع-ضلع-ضلع" (SSS):

  • \([OE]\) ضلع مشترك.
  • \(OB = OC\) (شعاعان).
  • \(EB = EC\) (أثبتناها للتو).
إذن المثلثان متقايسان.

✅ الحل الكامل

1) أثبت تقايس المثلثين \(OBN\) و \(OCM\):

نقارن المثلثين \(OBN\) و \(OCM\) باستخدام حالة "ضلع-زاوية-ضلع":

  • الضلع: \(OB = OC\) (لأنهما شعاعان في نفس الدائرة \((\mathcal{C})\)).
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{BOC}\) هي زاوية مشتركة للمثلثين.
  • الضلع: \(ON = OM\) (حسب المعطيات).

النتيجة: المثلثان \(OBN\) و \(OCM\) متقايسان.

2) بيّن أنّ \(NB = MC\):

بما أن المثلثين \(OBN\) و \(OCM\) متقايسان (من السؤال 1)، فإن أضلاعهما المتناظرة متقايسة. الضلع \([NB]\) نظير الضلع \([MC]\).
إذن، \(NB = MC\).

3) بيّن أنّ \(\widehat{IMB} = \widehat{INC}\):

من تقايس المثلثين \(OBN\) و \(OCM\)، نستنتج أن الزوايا المتناظرة متقايسة، أي \(\widehat{BNO} = \widehat{CMO}\).
الزاوية \(\widehat{INC}\) والزاوية \(\widehat{BNO}\) متكاملتان (لأن النقاط \(O,N,C\) على استقامة واحدة). إذن \(\widehat{INC} = 180^\circ - \widehat{BNO}\).
الزاوية \(\widehat{IMB}\) والزاوية \(\widehat{CMO}\) متكاملتان (لأن النقاط \(O,M,B\) على استقامة واحدة). إذن \(\widehat{IMB} = 180^\circ - \widehat{CMO}\).
بما أن \(\widehat{BNO} = \widehat{CMO}\)، فإن \(\widehat{IMB} = \widehat{INC}\).

4) أ) قارن المثلثين \(IBM\) و \(ICN\):

نقارن المثلثين \(IBM\) و \(ICN\) باستخدام حالة "زاوية-ضلع-زاوية":

  • الزاوية: من تقايس السؤال 1، لدينا \(\widehat{NBO} = \widehat{MCO}\)، أي \(\widehat{IBM} = \widehat{ICN}\).
  • الضلع: لدينا \(OB=OC\) و \(OM=ON\)، إذن \(BM = OB - OM = OC - ON = CN\).
  • الزاوية: من السؤال 3، لدينا \(\widehat{IMB} = \widehat{INC}\).

النتيجة: المثلثان \(IBM\) و \(ICN\) متقايسان.

4) ب) بيّن أنّ \((OI) \perp (BC)\):

  • لدينا \(OB = OC\) (شعاعان)، إذن \(O\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\).
  • من تقايس \(IBM\) و \(ICN\)، نستنتج أن \(IB = IC\). إذن \(I\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([BC]\).

بما أن النقطتين المختلفتين \(O\) و \(I\) تنتميان للموسط العمودي لـ \([BC]\)، فإن المستقيم \((OI)\) هو الموسط العمودي. إذن، \((OI) \perp (BC)\).

5) قارن المثلثين \(OEC\) و \(OEB\):

نقارن المثلثين \(OEC\) و \(OEB\) باستخدام حالة "ضلع-ضلع-ضلع":

  • الضلع: \(OB = OC\) (شعاعان).
  • الضلع: \(OE\) هو شعاع، ولكن الأهم أن \([OE]\) ضلع مشترك.
  • الضلع: بما أن \(E\) تنتمي للمستقيم \((OI)\) الذي هو الموسط العمودي لـ \([BC]\)، فإن \(E\) متساوية البعد عن \(B\) و \(C\). إذن \(EB = EC\).

النتيجة: المثلثان \(OEC\) و \(OEB\) متقايسان.