ABC مثلث متقايس الأضلاع, منصف الزاوية BÂC ومنصف الزاوية AĈB يتقاطعان في O.
أ) بيّن أنّ OA = OB = OC.
ب) بيّن أنّ المثلثين AOB و AOC متقايسان.
المستقيم المار من O و الموازي لـ (BC) يقطع (AB) في E و (AC) في F.
أ) بيّن أنّ EBO مثلث متقايس الضلعين في E.
ب) بيّن أنّ OF = FC.
ج) إستنتج أنّ EF = EB + FC.
تذكر الخصائص الأساسية:
إرشاد: ابدأ بإثبات أن O هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC
الجزء الأول - إثبات OA = OB = OC:
بما أن ABC متقايس الأضلاع، فإن منصف الزاوية هو أيضاً موسط عمودي:
إذن: OA = OB = OC (O مركز الدائرة المحاطة)
الجزء الثاني - البداية مع الخطوط المتوازية:
بما أن (EF) يوازي (BC) ومن خصائص التوازي:
1) أ- لنا ABC متقايس الأضلاع و (AO] منصف الزاوية BÂC إذن (AO) هو الموسط العمودي لـ [BC] أي أنّ OB=OC.
(BO] هو منصف AĈB إذن (BO) هو الموسط العمودي لـ [AC] أي أنّ OA=OC.
نستنتج أنّ OA=OB=OC.
ب- في المثلثين AOB و AOC لنا:
إذن AOB و AOC متقايسان حسب الحالة 3 من تقايس المثلثات العامة.
ملاحظة: يمكن تبيين تقايس المثلثين AOB و AOC باستعمال الحالة الثانية لتقايس المثلثات العامة.
2) أ- لنا ∠EBC = ∠EÔB لأن (BO] هو منصف الزاوية ∠EBC.
∠OBC = ∠EOB (زاويتان متبادلتان داخلياً حصلتان عن تقاطع (OB) مع المتوازيين (OE) و (BC)).
إذن ∠EBO = ∠EOB.
و منه EBO مثلث متقايس الضلعين في E.
ب- ∠OĈF = ∠OCB لأن (CO] هو منصف ∠FCB. O مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC لأنها تنتج تقاطع منصفات الزوايا.
∠FOC = ∠OCB (زاويتان متبادلتان داخلياً حصلتان عن تقاطع (OC) مع المتوازيين (EF) و (BC)).
إذن ∠FOC = ∠OĈF أي أنّ OFC متقايس الضلعين في F وبالتالي FO=FC.
ج- لدينا [EF] يمر بـ O إذن EF = EO + OF.
من النتائج السابقة: EO = EB و OF = FC
إذن: EF = EB + FC
3) لإثبات تقايس المثلثين AEC و AFB:
نستخدم النتائج المحصل عليها من الأجزاء السابقة وخصائص المثلث المتقايس الأضلاع.