تقايس المثلثات

الحالة الثانية: ضلعان والزاوية المحصورة (ض.ز.ض)

- تونس

التمرين 1: المنصف والنقاط المتساوية البعد
📐 المعطيات والمطلوب:

\([Oz)\) زاوية و \(A\) نقطة من منصفها. عين على \([Ox)\) نقطة \(B\) وعلى \([Oy)\) نقطة \(C\) بحيث \(OA = OB = OC\).

المطلوب: بين أن المثلثين \(OAB\) و \(OAC\) متقايسان.
💡 مساعدة
• الحالة الثانية: ضلعان والزاوية المحصورة بينهما
• المعطى: \(OA = OB = OC\)
• \([OA)\) منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\)
• ابحث عن الضلع المشترك بين المثلثين
• استخدم خاصية المنصف للزوايا
📋 المنهجية
الخطوات:
1. حدد الضلع المشترك بين المثلثين
2. استخدم المعطى \(OB = OC\)
3. استخدم خاصية المنصف
4. طبق الحالة الثانية (ض.ز.ض)
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(OAB\) و \(OAC\) لدينا:
  • الضلع المشترك: \(OA\) ضلع مشترك بين المثلثين
  • الضلع الثاني: \(OB = OC\) (معطى)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AOB} = \widehat{AOC}\) (لأن \([OA)\) منصف الزاوية \(\widehat{xOy}\))
الاستنتاج: إذن يتقايس المثلثان حسب الحالة الثانية (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما)
التمرين 2: المثلث متقايس الضلعين
📐 المعطيات والمطلوب:

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\). لتكن \(E\) نقطة من \([AB]\) و \(F\) نقطة من \([AC]\) بحيث \(AE = AF\).

المطلوب: قارن المثلثين \(AEC\) و \(AFB\).
💡 مساعدة
• المثلث متقايس الضلعين في \(A\) يعني \(AB = AC\)
• المعطى: \(AE = AF\)
• الزاوية \(\widehat{A}\) مشتركة بين المثلثين
• قارن المثلثين \(AEC\) و \(AFB\)
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. استخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين
2. استخدم المعطى \(AE = AF\)
3. حدد الزاوية المشتركة
4. استنتج التقايس
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(AEC\) و \(AFB\) لدينا:
  • الضلع الأول: \(AC = AB\) (لأن المثلث \(ABC\) متقايس الضلعين قمته \(A\))
  • الضلع الثاني: \(AE = AF\) (معطى)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{EAC} = \widehat{FAB}\) (زاوية مشتركة وهي \(\widehat{A}\))
الاستنتاج: إذن المثلثان \(AEC\) و \(AFB\) متقايسان حسب الحالة الثانية (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما)
التمرين 3: الدائرة والوتر
📐 المعطيات والمطلوب:

\((C)\) دائرة مركزها \(O\). \([AB]\) وتر في الدائرة. منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\) يقطع الدائرة في \(M\).

المطلوب: قارن المثلثين \(OAM\) و \(OBM\).
💡 مساعدة
• في الدائرة: جميع الأنصاف من المركز إلى المحيط متساوية
• \(OA = OB = OM\) (أنصاف أقطار)
• منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين
• الضلع \(OM\) مشترك بين المثلثين
📋 المنهجية
خطوات الحل:
1. استخدم خاصية أنصاف أقطار الدائرة
2. حدد الضلع المشترك
3. استخدم خاصية المنصف
4. طبق الحالة الثانية
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(OAM\) و \(OBM\) لدينا:
  • الضلع الأول: \(OA = OB\) (أنصاف أقطار في نفس الدائرة)
  • الضلع المشترك: \(OM\) ضلع مشترك بين المثلثين
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AOM} = \widehat{BOM}\) (لأن \([OM)\) منصف الزاوية \(\widehat{AOB}\))
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية لتقايس المثلثات
التمرين 4: المثلثان القائمان
📐 المعطيات والمطلوب:

\(ABC\) مثلث قائم في \(A\). لتكن \(D\) نقطة بحيث \(BD \perp (AB)\) و \(BD = AC\).

المطلوب: قارن المثلثين \(ABC\) و \(BAD\).
💡 مساعدة
• المثلث \(ABC\) قائم في \(A\): \(\widehat{CAB} = 90°\)
• \(BD \perp (AB)\) يعني \(\widehat{DBA} = 90°\)
• المعطى: \(BD = AC\)
• الضلع \(AB\) مشترك بين المثلثين
• الزاويتان القائمتان هما الزوايا المحصورة
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. حدد الضلع المشترك
2. استخدم المعطى \(BD = AC\)
3. قارن الزوايا القائمة
4. استنتج التقايس
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(ABC\) و \(BAD\) لدينا:
  • الضلع المشترك: \(AB\) ضلع مشترك بين المثلثين
  • الضلع الثاني: \(AC = BD\) (معطى)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{CAB} = \widehat{DBA} = 90°\) (زاويتان قائمتان)
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما)
التمرين 5: متوازي الأضلاع والقاطع
📐 المعطيات والمطلوب:

\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(O\). مستقيم يمر من \(O\) يقطع \([AB]\) في \(E\) و \([CD]\) في \(F\).

المطلوب: قارن المثلثين \(OAE\) و \(OCF\).
💡 مساعدة
• \(O\) مركز متوازي الأضلاع: \(OA = OC\) و \(OB = OD\)
• الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
• في متوازي الأضلاع: الزوايا المتبادلة داخلياً متساوية
• القاطع المار بمركز التناظر يقطع الأضلاع المتوازية بأجزاء متساوية
📋 المنهجية
خطوات الإثبات:
1. استخدم خاصية مركز متوازي الأضلاع
2. استخدم خاصية الزوايا المتقابلة بالرأس
3. أثبت أن \(OE = OF\) باستخدام التناظر المركزي
4. طبق الحالة الثانية
✅ الحل الكامل
نعلم أن: \(O\) هو مركز التناظر في متوازي الأضلاع

في المثلثين \(OAE\) و \(OCF\) لدينا:
  • الضلع الأول: \(OA = OC\) (لأن \(O\) منتصف القطر \([AC]\))
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AOE} = \widehat{COF}\) (زاويتان متقابلتان بالرأس)
  • الضلع الثاني: \(OE = OF\) (لأن القاطع المار بمركز التناظر \(O\) يُقطَع بالتساوي)
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية
التمرين 6: المنصف في المثلث
📐 المعطيات والمطلوب:

مثلث \(ABC\) حيث \([CI)\) منصف الزاوية \(\widehat{C}\). \(D\) نقطة من \([CB]\) بحيث \(CD = CA\).

المطلوب: قارن المثلثين \(ICD\) و \(ICA\).
💡 مساعدة
• \([CI)\) منصف الزاوية \(\widehat{C}\)
• المعطى: \(CD = CA\)
• الضلع \(CI\) مشترك بين المثلثين
• استخدم خاصية المنصف
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. حدد الضلع المشترك
2. استخدم المعطى \(CD = CA\)
3. استخدم خاصية المنصف
4. استنتج التقايس
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(ICD\) و \(ICA\) لدينا:
  • الضلع المشترك: \(CI\) ضلع مشترك بين المثلثين
  • الضلع الثاني: \(CD = CA\) (معطى)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{ICD} = \widehat{ICA}\) (لأن \([CI)\) منصف الزاوية \(\widehat{BCA}\))
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية
التمرين 7: الزاوية القائمة والنقاط
📐 المعطيات والمطلوب:

نعتبر زاوية قائمة \([Ox, Oy)\). عين \(A, B\) على \([Ox)\) و \(C, D\) على \([Oy)\) بحيث \(OA = OC\) و \(OB = OD\).

المطلوب: بين تقايس المثلثين \(OAD\) و \(OCB\).
💡 مساعدة
• المعطيات: \(OA = OC\) و \(OB = OD\)
• الزاوية بين \([Ox)\) و \([Oy)\) قائمة (90°)
• الزاوية المحصورة بين الضلعين هي نفسها في كلا المثلثين
• \(\widehat{AOD} = \widehat{COB} = 90°\)
📋 المنهجية
خطوات الإثبات:
1. استخدم المعطيات \(OA = OC\) و \(OB = OD\)
2. حدد الزاوية المحصورة (الزاوية القائمة)
3. تحقق من أن الزاوية نفسها في كلا المثلثين
4. طبق الحالة الثانية
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(OAD\) و \(OCB\) لدينا:
  • الضلع الأول: \(OA = OC\) (معطى)
  • الضلع الثاني: \(OD = OB\) (معطى)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{AOD} = \widehat{COB} = 90°\) (نفس الزاوية القائمة بين النصفين)
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية
التمرين 8: متوازي الأضلاع والمستقيم الموازي
📐 المعطيات والمطلوب:

\(ABCD\) متوازي أضلاع مركزه \(I\). أرسم مستقيمًا يمر من \(I\) يوازي \((AD)\) ويقطع \([AB]\) في \(E\) و \([DC]\) في \(F\).

المطلوب: بين تقايس المثلثين \(CIF\) و \(AIE\).
💡 مساعدة
• \(I\) مركز متوازي الأضلاع: \(IA = IC\) و \(IB = ID\)
• الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
• المستقيم \((EF)\) يوازي \((AD)\)
• استخدم الزوايا المتبادلة والمتقابلة بالرأس
📋 المنهجية
للبرهان:
1. استخدم خاصية مركز متوازي الأضلاع
2. حدد الزوايا المتقابلة بالرأس
3. استخدم التوازي للحصول على \(IE = IF\)
4. طبق الحالة الثانية
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(CIF\) و \(AIE\) لدينا:
  • الضلع الأول: \(IC = IA\) (لأن \(I\) منتصف القطر \([AC]\) في متوازي الأضلاع)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{CIF} = \widehat{AIE}\) (زاويتان متقابلتان بالرأس)
  • الضلع الثاني: \(IF = IE\) (لأن المستقيم المار بمركز التناظر ويوازي ضلعاً يُقطَع بالتساوي بواسطة المركز)
الاستنتاج: إذن المثلثان \(CIF\) و \(AIE\) متقايسان حسب الحالة الثانية
التمرين 9: الدوائر والمنصف
📐 المعطيات والمطلوب:

زاوية \(\widehat{BAC}\) ومنصفها \([AZ)\). \(E, F\) نقطتان من المنصف. دائرتان مركزهما \(A\) ونصفا قطرهما \(AF\) و \(AE\). الدائرة الأولى تقطع \([AB)\) في \(G\) والثانية تقطع \([AC)\) في \(H\).

المطلوب: قارن المثلثين \(AFG\) و \(AEH\).
💡 مساعدة
• الدائرة الأولى: مركز \(A\)، نصف قطر \(AF\)
• الدائرة الثانية: مركز \(A\)، نصف قطر \(AE\)
• في الدائرة: \(AG = AF\) (نصفا قطر) و \(AH = AE\)
• \([AZ)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\)
• الزاويتان المحصورتان متساويتان
📋 المنهجية
للمقارنة:
1. استخدم خصائص الدوائر (أنصاف الأقطار)
2. حدد الأضلاع المتساوية
3. استخدم خاصية المنصف
4. طبق الحالة الثانية
✅ الحل الكامل
في المثلثين \(AFG\) و \(AEH\) لدينا:
  • الضلع الأول: \(AG = AF\) (كلاهما نصف قطر في الدائرة الأولى)
  • الضلع الثاني: \(AE = AH\) (كلاهما نصف قطر في الدائرة الثانية)
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{GAF} = \widehat{HAE}\) (لأن المنصف \([AZ)\) يقسم الزاوية \(\widehat{BAC}\) إلى زاويتين متساويتين)
الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الثانية
ملاحظة: نظراً لتعقيد التسمية، تأكد من صحة المعطيات: المثلثان الصحيحان للمقارنة هما \(AFG\) و \(AEH\)
التمرين 10: المثلث متقايس الضلعين والعمود
📐 المعطيات والمطلوب:

\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته \(A\). \([AX)\) منصف الزاوية \(\widehat{A}\). مستقيم عمودي على \((AX)\) يقطع \([AB]\) في \(E\) و \([AC]\) في \(F\).

المطلوب: بين أن \(AE = AF\).
💡 مساعدة
• سمِّ \(K\) نقطة تقاطع المنصف مع المستقيم العمودي
• قارن المثلثين \(AEK\) و \(AFK\)
• الضلع \(AK\) مشترك بين المثلثين
• \([AK)\) منصف الزاوية \(\widehat{A}\)
• المستقيم عمودي على \((AX)\) في \(K\)
📋 المنهجية
للإثبات:
1. حدد نقطة التقاطع \(K\)
2. قارن المثلثين \(AEK\) و \(AFK\)
3. استخدم خاصية المنصف
4. استخدم العمودية (زاويتان قائمتان)
5. استنتج \(AE = AF\)
✅ الحل الكامل
نسمي: \(K\) نقطة تقاطع المنصف \([AX)\) مع المستقيم العمودي

في المثلثين \(AEK\) و \(AFK\) لدينا:
  • الضلع المشترك: \(AK\) ضلع مشترك بين المثلثين
  • الزاوية المحصورة: \(\widehat{EAK} = \widehat{FAK}\) (لأن \([AX)\) منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\))
  • الزاوية الثانية: \(\widehat{AKE} = \widehat{AKF} = 90°\) (لأن المستقيم عمودي على \((AX)\))
إذن: المثلثان \(AEK\) و \(AFK\) متقايسان

الاستنتاج: بما أن المثلثين متقايسان، فإن الأضلاع النظيرة متساوية، ومنه \(AE = AF\)

🌟 بالتوفيق لجميع تلاميذنا - الفهم العميق طريق التميز 🌟

من إعداد: دفواراتي

أوليس (Ulysse) - تطبيق تصميم سقراط