سلسلة تمارين: تقايس المثلثات

التمرين 1: التناظر والتوازي

📐 المعطيات والمطلوب:

لتكن $I$ منتصف قطعة $[AB]$. نعتبر نصفي مستقيمين متوازيين $[Ax)$ و $[By)$. نضع نقطة $C$ على $[Ax)$ و نقطة $D$ على $[By)$ حيث $AC = BD$.

المطلوب: بيّن أن المثلثين $AIC$ و $BID$ متقايسان.

💡 مساعدة

• للحالة الأولى (ض.ز.ض) نحتاج: ضلعان وزاوية محصورة بينهما
• $I$ منتصف $[AB]$ يعني $AI = IB$
• المستقيمان المتوازيان يشكلان زوايا متبادلة داخلياً
• ابحث عن العناصر المتقايسة في المثلثين $AIC$ و $BID$

📋 المنهجية

الخطوات:
1. حدد الأضلاع المتقايسة من المعطيات
2. استخدم خاصية المنتصف
3. استخدم خاصية الزوايا المتبادلة في المستقيمين المتوازيين
4. طبق الحالة الأولى لتقايس المثلثات

✅ الحل الكامل

نقارن المثلثين $AIC$ و $BID$:

الضلع الأول: $AI = IB$ (لأن $I$ منتصف $[AB]$)
الضلع الثاني: $AC = BD$ (معطيات)
الزاوية المحصورة: $\widehat{CAI} = \widehat{DBI}$ (لأنهما زاويتان متبادلتان داخلياً والمستقيمان $(Ax)$ و $(By)$ متوازيان)

الاستنتاج: المثلثان $AIC$ و $BID$ متقايسان حسب الحالة الأولى لتقايس المثلثات (ض.ز.ض)

التمرين 2: خاصية المنصف

📐 المعطيات والمطلوب:

لتكن زاوية $\widehat{xOy}$ و $[Ot)$ منصفها. نعتبر نقطة $M$ من $[Ot)$، ونقطة $A$ من $[Ox)$ ونقطة $B$ من $[Oy)$ حيث $OA = OB$.

المطلوب: قارن المثلثين $OAM$ و $OBM$.

💡 مساعدة

• المنصف يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين
• الضلع $[OM]$ موجود في كلا المثلثين
• $OA = OB$ معطى
• ابحث عن الزاوية المحصورة بين الضلعين

📋 المنهجية

للمقارنة:
1. حدد الضلع المشترك بين المثلثين
2. استخدم المعطى $OA = OB$
3. استخدم خاصية المنصف
4. استنتج التقايس

✅ الحل الكامل

في المثلثين $OAM$ و $OBM$ لدينا:

الضلع المشترك: $[OM]$ مشترك بين المثلثين
الضلع الثاني: $OA = OB$ (معطيات)
الزاوية المحصورة: $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (لأن $[Ot)$ هو منصف الزاوية $\widehat{xOy}$)

الاستنتاج: المثلثان $OAM$ و $OBM$ متقايسان حسب الحالة الأولى (ضلعان وزاوية محصورة بينهما)

التمرين 3: في المستطيل

📐 المعطيات والمطلوب:

ليكن $ABCD$ مستطيلاً. نعتبر $E$ منتصف الضلع $[AB]$.

المطلوب: أثبت أن $DE = CE$.

💡 مساعدة

• قارن المثلثين $ADE$ و $BCE$
• في المستطيل: الأضلاع المتقابلة متساوية والزوايا قائمة
• $E$ منتصف $[AB]$ يعني $AE = BE$
• إذا كان المثلثان متقايسين، فأضلاعهما النظيرة متساوية

📋 المنهجية

الخطوات:
1. حدد المثلثين المناسبين للمقارنة
2. استخدم خصائص المستطيل
3. استخدم خاصية المنتصف
4. أثبت التقايس واستنتج تساوي الأضلاع النظيرة

✅ الحل الكامل

نقارن المثلثين $ADE$ و $BCE$:

الضلع الأول: $AD = BC$ (ضلعان متقابلان في مستطيل)
الضلع الثاني: $AE = BE$ (لأن $E$ منتصف $[AB]$)
الزاوية المحصورة: $\widehat{DAE} = \widehat{CBE} = 90^\circ$ (زوايا المستطيل قائمة)

إذن: المثلثان $ADE$ و $BCE$ متقايسان (الحالة الأولى)

الاستنتاج: وبما أنهما متقايسان، فإن جميع عناصرهما النظيرة متقايسة، ومنه $DE = CE$

التمرين 4: المثلث متقايس الضلعين والموسطات

📐 المعطيات والمطلوب:

ليكن $ABC$ مثلثاً متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$. لتكن $M$ منتصف $[AC]$ و $N$ منتصف $[AB]$.

المطلوب: بيّن أن $BM = CN$.

💡 مساعدة

• المثلث متقايس الضلعين في $A$ يعني $AB = AC$
• قارن المثلثين $ABM$ و $ACN$
• إذا كانت الأضلاع متساوية، فأنصافها متساوية
• الزاوية $\widehat{A}$ مشتركة بين المثلثين

📋 المنهجية

للبرهان:
1. استخدم خاصية المثلث متقايس الضلعين
2. استخدم خاصية المنتصفات
3. حدد الزاوية المشتركة
4. أثبت التقايس واستنتج $BM = CN$

✅ الحل الكامل

لنقارن المثلثين $ABM$ و $ACN$:

الضلع الأول: $AB = AC$ (لأن المثلث $ABC$ متقايس الضلعين في $A$)
الضلع الثاني: بما أن $M$ منتصف $[AC]$ و $N$ منتصف $[AB]$ و $AB=AC$، فإن:
$AM = \frac{AC}{2}$ و $AN = \frac{AB}{2}$
إذن $AM = AN$
الزاوية المحصورة: الزاوية $\widehat{A}$ مشتركة بين المثلثين

إذن: المثلثان $ABM$ و $ACN$ متقايسان حسب الحالة الأولى

الاستنتاج: وبالتالي، فإن الضلعين النظيرين $BM$ و $CN$ متقايسان، أي $BM = CN$

التمرين 5: داخل المربع

📐 المعطيات والمطلوب:

في مربع $ABCD$، نضع نقطة $E$ على $[AB]$ ونقطة $F$ على $[BC]$ بحيث $AE = BF$.

المطلوب: أثبت أن $DE = AF$.

💡 مساعدة

• في المربع: جميع الأضلاع متساوية وجميع الزوايا قائمة
• قارن المثلثين $DAE$ و $ABF$
• $AD = AB$ (أضلاع المربع)
• $AE = BF$ (معطى)
• الزوايا في رؤوس المربع قائمة

📋 المنهجية

خطوات الحل:
1. حدد المثلثين المناسبين
2. استخدم خصائص المربع (الأضلاع والزوايا)
3. استخدم المعطى $AE = BF$
4. أثبت التقايس باستخدام الحالة الأولى

✅ الحل الكامل

لنقارن المثلثين $DAE$ و $ABF$:

الضلع الأول: $AD = AB$ (أضلاع المربع متقايسة)
الضلع الثاني: $AE = BF$ (معطيات)
الزاوية المحصورة: $\widehat{DAE} = \widehat{ABF} = 90^\circ$ (زوايا المربع قائمة)

إذن: بما أن لهما ضلعان وزاوية محصورة متقايسة، فإن المثلثين $DAE$ و $ABF$ متقايسان

الاستنتاج: ينتج عن ذلك تقايس أوتارهما (الأضلاع النظيرة): $DE = AF$

التمرين 6: المثلث متقايس الأضلاع

📐 المعطيات والمطلوب:

ليكن $ABC$ مثلثاً متقايس الأضلاع. لتكن $H$ منتصف $[BC]$.

المطلوب: استخدم الحالة الأولى لتبين أن المثلثين $ABH$ و $ACH$ متقايسان.

💡 مساعدة

• المثلث متقايس الأضلاع: جميع أضلاعه متساوية وجميع زواياه تساوي 60°
• $H$ منتصف $[BC]$ يعني $BH = CH$
• $AB = AC$ (أضلاع المثلث المتقايس الأضلاع)
• الزاويتان $\widehat{B}$ و $\widehat{C}$ متساويتان

📋 المنهجية

للبرهان:
1. استخدم خصائص المثلث متقايس الأضلاع
2. استخدم خاصية المنتصف
3. قارن الزوايا في المثلث متقايس الأضلاع
4. طبق الحالة الأولى

✅ الحل الكامل

بمقارنة المثلثين $ABH$ و $ACH$ نجد:

الضلع الأول: $AB = AC$ (أضلاع مثلث متقايس الأضلاع)
الضلع الثاني: $BH = CH$ (لأن $H$ منتصف $[BC]$)
الزاوية المحصورة: $\widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$ (زوايا مثلث متقايس الأضلاع)

الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى (ض.ز.ض)

التمرين 7: مركز متوازي الأضلاع

📐 المعطيات والمطلوب:

ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$.

المطلوب: أثبت أن المثلثين $OAB$ و $OCD$ متقايسان باستعمال الحالة الأولى.

💡 مساعدة

• في متوازي الأضلاع، القطران يتقاطعان في منتصفهما
• $O$ مركز متوازي الأضلاع يعني $OA = OC$ و $OB = OD$
• الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية
• $\widehat{AOB}$ و $\widehat{COD}$ متقابلتان بالرأس

📋 المنهجية

خطوات الحل:
1. استخدم خاصية تقاطع قطري متوازي الأضلاع
2. حدد الأضلاع المتساوية
3. استخدم خاصية الزوايا المتقابلة بالرأس
4. طبق الحالة الأولى

✅ الحل الكامل

نعلم أن: قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفهما $O$

نقارن المثلثين $OAB$ و $OCD$:

الضلع الأول: $OA = OC$ (لأن $O$ منتصف القطر $[AC]$)
الضلع الثاني: $OB = OD$ (لأن $O$ منتصف القطر $[BD]$)
الزاوية المحصورة: $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس)

الاستنتاج: بما أن المثلثين $OAB$ و $OCD$ لهما ضلعان متقايسان وزاوية محصورة بينهما متقايسة، فهما متقايسان

التمرين 8: الدوائر المتحدة المركز

📐 المعطيات والمطلوب:

لتكن دائرتان لهما نفس المركز $O$. نصف مستقيم $[Ox)$ يقطع الدائرتين في $A$ و $C$. نصف مستقيم آخر $[Oy)$ يقطعهما في $B$ و $D$.

المطلوب: بيّن أن $AD = BC$ علماً أن $OA=OB$ و $OC=OD$.

💡 مساعدة

• $OA = OB$ (نصف قطر الدائرة الأولى)
• $OC = OD$ (نصف قطر الدائرة الثانية)
• قارن المثلثين $OAD$ و $OBC$
• الزاوية $\widehat{O}$ (بين النصفين $[Ox)$ و $[Oy)$) مشتركة

📋 المنهجية

خطوات الإثبات:
1. حدد المثلثين المناسبين
2. استخدم المعطيات $OA = OB$ و $OC = OD$
3. حدد الزاوية المشتركة
4. أثبت التقايس واستنتج $AD = BC$

✅ الحل الكامل

نقارن المثلثين $OAD$ و $OBC$:

الضلع الأول: $OA = OB$ (نصف قطر الدائرة الصغيرة)
الضلع الثاني: $OD = OC$ (نصف قطر الدائرة الكبيرة)
الزاوية المحصورة: الزاوية $\widehat{AOD} = \widehat{BOC}$ (نفس الزاوية المحصورة بين النصفين $[Ox)$ و $[Oy)$)

إذن: المثلثان $OAD$ و $OBC$ متقايسان حسب الحالة الأولى

الاستنتاج: ومنه الأضلاع النظيرة متساوية: $AD = BC$

التمرين 9: التناظر المحوري

📐 المعطيات والمطلوب:

ليكن مثلث $ABC$. ابنِ $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى المستقيم $(BC)$.

المطلوب: لماذا المثلثان $ABC$ و $DBC$ متقايسان؟

💡 مساعدة

• التناظر المحوري يحفظ المسافات
• $(BC)$ هو محور التناظر بين $A$ و $D$
• كل نقطة من $(BC)$ تبعد نفس البعد عن $A$ و $D$
• خاصياً: $AB = DB$ و $AC = DC$
• الضلع $[BC]$ مشترك بين المثلثين

📋 المنهجية

للبرهان:
1. استخدم خاصية التناظر المحوري
2. أثبت أن $AB = DB$ و $AC = DC$
3. حدد الضلع المشترك
4. استخدم خاصية الزوايا في التناظر المحوري

✅ الحل الكامل

خاصية التناظر المحوري:
بما أن $D$ مناظرة $A$ بالنسبة إلى $(BC)$، فإن $(BC)$ هو الموسط العمودي لقطعة $[AD]$

هذا يعني أن:
• $AB = DB$ (كل نقطة من الموسط العمودي تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة)
• $AC = DC$ (نفس السبب)

نقارن المثلثين $ABC$ و $DBC$:

الضلع الأول: $AB = DB$ (بالتناظر)
الضلع المشترك: $[BC]$ مشترك بين المثلثين
الزاوية المحصورة: $\widehat{ABC} = \widehat{DBC}$ (التناظر المحوري يحفظ الزوايا، $(BC)$ هو منصف الزاوية $\widehat{ABD}$)

الاستنتاج: إذن المثلثان متقايسان حسب الحالة الأولى

التمرين 10: فخ مفاهيمي ⚠️

⚠️ انتبه - سؤال تحليلي:

مثلثان لهما زاوية قيسها $40^\circ$ وضلعان طولهما $5$ سم و $7$ سم.

السؤال: هل هما بالضرورة متقايسان؟ علل جوابك.

💡 مساعدة

• الحالة الأولى (ض.ز.ض) تتطلب شرطاً مهماً
• الزاوية يجب أن تكون **محصورة** بين الضلعين
• فكر في موضع الزاوية $40^\circ$ بالنسبة للضلعين 5 سم و 7 سم
• هل المعلومات المعطاة تضمن أن الزاوية محصورة بين الضلعين في كلا المثلثين؟

📋 المنهجية

للتحليل:
1. راجع شروط الحالة الأولى (ض.ز.ض)
2. تحقق من موضع الزاوية بالنسبة للضلعين
3. فكر في حالات مختلفة لموضع الزاوية
4. استنتج هل التقايس مضمون أم لا

✅ الحل الكامل

⚠️ الجواب: لا، ليس بالضرورة!

التعليل:

شرط الحالة الأولى (ض.ز.ض):
لكي نطبق الحالة الأولى للتقايس، يجب أن تكون الزاوية ($40^\circ$) محصورة بين الضلعين اللذين طولاهما $5$ سم و $7$ سم في كلا المثلثين.

المشكلة في المعطيات:
المعطيات لا تحدد بوضوح موضع الزاوية $40^\circ$. يمكن أن تكون:
• الحالة 1: محصورة بين الضلعين 5 سم و 7 سم
• الحالة 2: غير محصورة بينهما (مثلاً مقابلة لأحدهما)

الاستنتاج الحاسم:
إذا كانت الزاوية في أحد المثلثين غير محصورة بين هذين الضلعين، فلا يمكن الجزم بتقايسهما.

درس مهم: المعلومات يجب أن تكون دقيقة ومحددة لتطبيق الحالة الأولى بشكل صحيح!