1. في مثلث $ABC$، لتكن $D$ نقطة من $[AB]$ و $E$ نقطة من $[AC]$ بحيث $AD=AE$. المستقيم المار من $D$ والموازي لـ $(AC)$ يقطع المستقيم المار من $E$ والموازي لـ $(AB)$ في $F$. المثلثان $ADF$ و $AEF$ يتقايسان لأن:
الإصلاح: الشكل $ADFE$ معين لأن أضلاعه المتقابلة متوازية و $AD=AE$. القطر $[AF]$ يقسمه لمثلثين يتقايسان بضلع وزاويتين (ASA).
2. إذا كان $ABC$ مثلثاً فيه $I$ منتصف $[BC]$. المستقيم المنطلق من $I$ والعمودي على منصف الزاوية $\widehat{A}$ يقطع $(AB)$ في $M$ و $(AC)$ في $N$. المثلثان $AMN$ يتقايسان بـ:
الإصلاح: العمودي على المنصف يجزئ المثلث $AMN$ لمثلثين قائمين يشتركان في ضلع (جزء من المنصف) وزاويتين مجاورتين له.
3. في دائرة $(C)$، وتران $[AB]$ و $[CD]$ متوازيان. القطر العمودي على $[AB]$ هو أيضاً عمودي على $[CD]$. المثلثان المتكونان من المركز ونهايات الأوتار يتقايسان بـ:
الإصلاح: القطر هو موسط عمودي للأوتار المتوازية، مما يخلق مثلثات قائمة تتقايس بضلع وزاوية.
4. إذا كان $ABCD$ شبه منحرف بحيث $AB // CD$ و $O$ نقطة تقاطع قطريه. إذا علمنا أن $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$، فماذا نستنتج؟
الإصلاح: التساوي $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ مع التبادل الداخلي يعطي مثلثات تتقايس حسب الحالة الأولى ASA.
5. في مثلث $ABC$ قائم في $A$. $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $[BC]$. المثلثان $ABH$ و $CAH$ يملكان نفس الزوايا. لتقايسهما نحتاج:
الإصلاح: تقايس الزوايا (AAA) لا يكفي، يجب وجود ضلع متقايس (مثل $AB=AC$) لتفعيل الحالة الأولى.
6. في مضلع سداسي منتظم مركزه $O$، أي مثلثين ناتجين عن المركز وضلعين متتاليين يتقايسان بـ:
الإصلاح: السداسي المنتظم يتكون من مثلثات متقايسة الأضلاع، تتقايس بالحالة الأولى ASA أو الثانية SAS أو الثالثة SSS.
7. إذا قمنا بطي ورقة مستطيلة $ABCD$ حول قطرها $[AC]$، فإن الجزء المتداخل (مثلث) يكون متقايس الضلعين بسبب:
الإصلاح: الطي يخلق زوايا متساوية، والتبادل الداخلي مع ضلع القطر يثبت تقايس المثلثين الجانبيين.
8. في مثلث $ABC$، $M$ نقطة من $[BC]$ بحيث $AM$ منصف. إذا رسمنا من $B$ موازياً لـ $(AC)$ يقطع $(AM)$ في $E$. المثلثان $ACM$ و $EBM$ يتقايسان إذا وفقط إذا كان: