1. في مثلث $ABC$، لتكن $I$ نقطة تقاطع المنصفات. نرسم من $B$ و $C$ عموديين على $(AI)$ يقطعانه في $B'$ و $C'$. المثلثان $IBB'$ و $ICC'$ يتقايسان بـ SAS إذا كان:
الإصلاح: إذا كان $AB=AC$، فإن $I$ تقع على محور التناظر، مما يجعل المسافات والزوايا متناظرة تماماً، فنوفر الضلعين والزاوية المحصورة.
2. ليكن $ABCD$ متوازي أضلاع. نبني خارجاً مثلثين متقايسي الأضلاع $ABE$ و $BCF$. لتقايس المثلثين $EDF$ و $ABC$ نحتاج لاستخدام:
الإصلاح: الضلع $ED=AC$ و $EF=BC$ (ضمنياً)، والزاوية $\widehat{EDF}$ تُستنتج من طرح زوايا المثلثات المتساوية الأضلاع وزاوية المتوازي من $360^\circ$.
3. في مربع $ABCD$، $P$ و $Q$ نقطتان على $[BC]$ و $[CD]$ بحيث $\widehat{PAQ} = 45^\circ$. التقايس هنا يُثبت بـ SAS بعد:
الإصلاح: هذه مسألة كلاسيكية صعبة؛ الدوران يخلق مثلثاً جديداً يشترك مع $ADQ$ في ضلع وزاوية محصورة ناتجة عن $90-45=45$.
4. في دائرة، وتران $[AB]$ و $[AC]$ يميلان بنفس الزاوية على القطر المار من $A$. المثلثان الناتجان عن نصفي القطرين $OB$ و $OC$ يتقايسان بـ SAS لأن:
الإصلاح: التماثل حول القطر يضمن تساوي الزوايا المركزية، ومع تساوي الأشعة نطبق SAS.
5. "فخ المنحنيات": إذا تقايس ضلعان وقوس محصور بينهما في قطاعين دائريين، هل يتقايس المثلثان الوثريان؟
الإصلاح: في الهندسة، تقايس الأقواس في نفس الدائرة يعني تقايس الزوايا المركزية المقابلة لها.
6. في مثلث $ABC$، $M$ منتصف $[AB]$. نرسم خارجاً المربعين $ACDE$ و $ABFG$. المثلثان $AB E$ و $AGC$ يتقايسان بـ SAS لأن:
الإصلاح: الضلع الأول من المربع 1، الضلع الثاني من المربع 2، والزاوية بينهما هي زاوية المثلث الأصلي مضافاً إليها زاوية المربع القائمة.
7. إذا كان المثلثان $ABC$ و $DEF$ فيهما $AB=DE$ و $AC=DF$ و $\widehat{A}+\widehat{D} = 180^\circ$. هل هما متقايسان؟
الإصلاح: الحالة الثانية تتطلب "تساوي" الزوايا وليس "تكاملهما". الاستثناء الوحيد هو الزاوية القائمة.
8. في متوازي أضلاع $ABCD$، $M$ و $N$ نقطتان على القطر $[AC]$ بحيث $AM=CN$. المثلثان $ABM$ و $CDN$ يتقايسان بـ SAS لأن:
الإصلاح: الضلع $AB$ يوازي $CD$ في قاطع هو القطر، مما يوفر الزاوية المحصورة المتقايسة بالتبادل.
9. لإثبات أن "قطري المستطيل متقايسان" باستخدام SAS، نقارن المثلثين $ABC$ و $BAD$ اللذان يشتركان في:
الإصلاح: القاعدة ضلع مشترك، والارتفاعان متساويان، والزاوية بينهما قائمة. التقايس يؤدي لتساوي الأوتار (الأقطار).
10. أصعب تحدٍ في SAS هو اكتشاف "الزاوية المحصورة" عندما تكون:
الإصلاح: في المسائل المعقدة، نثبت تقايس الزوايا بإضافة أو طرح جزء مشترك (مثل $90 \pm \alpha$) وهذا هو جوهر الحالة الثانية.